La formule qui donne le nombre des

n à n se déduit de la formule des arrange mutations,

combinaisons de m objets ments et de celle des per-

Représentons par C” le nombre supposé connu, combinaisons de m objets n à n. En permutant les n objets qui entrent dans chacune de ces com inaisons, on aurait tous les arrangements de m objets n à n; aucun arrangement ne sera omis, puisque nous formons successivement tous ‘ceux qu’une même combinaison peut fournir: de plus, aucun arrangement ne sera répété, car chacune des combinaisons Contient au moins un objet qui ne 8e trouve pas dans les autres.

Or, chaque combinaison renfermant n objets fournira entre ces ñ objets un nombre de permutations représenté par P,, Done le nombre des arr1ngements des m objets n à n s'obtiendra en faisant le produit des c ::binaisons n à n des m objets, par les permuta-

lions de n objets.

Ainsi A,=C°xP ; d'où C"=An M(Mm—I) n—9)| M—3)...[Mm—(n—1)]

288. Le nombre des combinaisons de m objets n à n est le même

que celui des combinaisons des m objets pris m—n à m—n.

En effet, supposons les m objets réunis dans un même lieu ; chaque fois que l’on en prendra n, on aura une combinaison n à n entre les m objets; mais chaque fois aussi les n—n objets restant formeront eux-mêmes une combinaison.

Donc, s'ily a CŸ combinaisons des m objets n à n, il y aura un nombre égal de combinaisons des m objets pris m—n à m—n.

Formule du binôme.

9, Nous avons vu (ne 23) que, pour faire le produit d'un polynôme par un polynôme, on multiplie tous les termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur.

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