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D'après cela, le produit d'un polynôme par un polynôme se com posera des produits deux à deux, des termes du multiplicande et du multiplicateur; c'est-à-dire que d
ns chaque terme du produit entrera un terme du premier facteur et un lerme du second,
Si l'on multiplie ce produit par un troisième polynôme, on obtiendra pour résultat un polynôme dont les termes seront encore les produits deux à deux des termes du premier produit et du troisième polymôme : ce seront, par suite, les produits trois à trois des termes des trois polynômes, et dans Chaque terme entrera un terme du premier facteur, un du second et un du troisième.
En multipliant ce résultat Par un quatrième polynôme, on obtiendrait un produit dont les termes seraient les produits qualre à quatre des termes des quatre polynômes,
En général, siona n polynômes à multiplier du produit seront les produits n à n des ‘ans chaque terme du produit il entre teur, un du second, un du trot
entre eux, les termes termes des n polynômes: e/ a un terme du premier facsième..…., un du nème,
290. Soit maintenant à effectuer le produit de m facteurs binômes, (@+a)(æ+b) (t+c)(x+d)...æ4l.
Ce produit, que nous Supposons ordonné par rapport aux puissances décroissantes de æ, Sera la somme des produits obtenus en prenant m à m les termes des m binômes; c’est-à-dire que chaque terme du produit contiendra un terme de chacun des m facteurs.
On aura le premier terme du produit, en prenant le premier terme de chacun des m facteurs binômes, ce qui donnera :
L,L,L,R..... ou æ",
En prenant le second terme à dans le premier facteur et le premier dans les m—1 facteurs qui restent, on aura aæm!-1,
En prenant le second terme b dans le second facteur et le premier dans tous les autres, on aura bym-1,
En prenant le second terme e dans le troisième facteur et le premier dans tous les autres, on aura ecxm-1,
Et ainsi de suite,
Le second terme du produit sera du
degré m—1 par rapport à x, et aura pour expression :
Si l'on représente par S, la somme des m termes contenus dans la parenthèse, on a : S, æm-1, En prenant le second terme dans deux facteurs quelconques et le premier dans les m—2 qui restent, on aura des produits tels que : abam 1, cam ?, adaæm-2, aeam—2, afam-2, bcam-2, baxym “2, bexm-2, bfam-2,...
cdam-2, ceym-2 cfam--2,
vs
a Én THERE PE CS EL Pa
RÉ SR RE Eco
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term
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des fac terme aura po L, b, E
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les m—
La soi terme, o
On vo m—14 à
olynôme se comultiplicande et du lu produit entrera jme, on obtiendra icore les produits sième polymôme :
termes des trois } premier facteur,
1ème, on obtienqualre à quatre
> eux, les termes n polynômes; e du premier fac-
acteurs binômes.
LÀ
port aux puisluits obtenus en dire que chaque m facteurs,
> premier terme
cteur et le premi-1,
r et le premier
teur et le pre-
r rapport à x,
contenus dans
Iconques et le its tels que :
ts.
M—T à m—1 des m termes a, b, Cauich
APPENDICE La somme de tous ces te
formant le second terme du produit, aura pour expr
(ab+ac+ad..... + be+bd+ be... + cd + ce+ 4
On voit que le coefficient de æm
* est la somm sons deux à deux des m lermes 4, b
y Cross Le
Si l'on désigne par S, la somme de ces combinais terme du produit sera : Sad —2,
En prenant le second terme d
premier dans les m—: qui restent, on aura des pr
abcam 3 abdym %, abeam-3,...
acdam 3, Ace 4, acfan 3
bedam 3, bceam 3, bdexm-—3, bdfaem-s
befam—s8 bdgam-3....
cderm-—3, cdfam- 3 cdyam—3,.,, La somme de tous ces terme
8 du degré m—3 en quatrième terme du produit,
aura pour expression :
(abe+abd.... + acd+ ace
On voit que le Coefficient de m3 est Ja somme sons {rois à trois des m termes a, b,e... L
Si l’on désigne par 5, la somme de ces combinaison terme du produit sera Sam 3,
Le
291. En général, si l'on prend le second terme dans des facteurs et le premier dans les terme n+4èm qu produit ;
aura pour coefficient la somm
e des combinaisons nn «4, b
9 Co, de Si l'on désigne par S
terme du produit sera S,æ—n,
En prenant le premier terme dans un des facteurs et les m—1 qui restent, on aura des produits tels que : (bxex dl), (axcxd.…., l}æ, (axbxd,
La somme de tous ces termes du degré 1 en lerme , ou l’avant-dernier du produit
(bxcxd....
On voit que le coefficient de æ est la somme des
rmes du degré m—2 P
Jar rapport à x ession :
o 1... Jam-2,
e des combinai-
ons, le troisième
ans trois facteurs quelconques et le
oduits tels que :
æ, formant le
CEST + bed + bce. ——. ) om -8,
des combinai-
S, le quatrième
n quelconques
M—n qui restent, on formera le ce terme sera du degré m—1 en
æ et des m termes
» la somme de ces Combinaisns, le m + Jéme
le second dans
æ, formant le même > aura pour expression :
combinaisons
mn me —
Met ad ce md où à Re mr,
KP Se ne —
Si l’on désigne par 8
m—1 la somme de ces combinaisons, le même (e terme du produit sera Sn (a+ Enfin, on aura le dernier terme du produit en prenant le dernier ù terme de chacun des m facteurs, ce qui donnera : abcd.....m. F AL Ce terme du degré zéro en x se représente par S,. j Le produit de m facteurs binômes se développe donc comme il F ’ suit : CL 2€ am +s, am—1 + Se am—2 S,, x" hi Sir +S,. (1 ) ï ei ; m Le terme général, c’est-à-dire le n + lime du développement, est : les } S,œmi-n, Ce K sanc ; ÿ. :
292. Supposons maintenant que les seconds termes des m facteurs ss la binômes soient les mêmes dans tous ces facteurs. F Le produit (t+a)(æ+b)(æ+e).…... +4) sera (æ+a}n, È Cherchons ce que deviendra le développement ci-dessus, si Fa ci k on a=b=c=d.,,. =, les a La somme S, dont la valeur est a+b+c..... +1 deviendra ma, unité < : : Pr e l | So exprimera toujours la somme des combinaisons deux à deux . ) Pete m(m— TE R | de m quantités; il y aura sin 1) combinaisons, et chacune ÿ € ra | Le 9 d'elles valant a?, S, vaudra: 29€ £ 1) sont m(m— ; a2, cient 1.2 j : . sn M — } S3 exprimera la somme des combinaisons trois à trois de m quan- } j aile M(M—1){m—)2 Fr tités; il y aura ! ii 2) Combinaisons, et chacune d'elles Or valant a&3, S, vaudra: À PL EA cients m(m—1)(m—9) ., 1 d : e cal 1.2.8 À 293. En général, S, exprimant la somme des combinaisons n à n 297. tee à mnt fred), (me Cid) multi} ” S; aura 1" 7/1 = de m quantités: il y aura PTS com de ce binaisons, et chacune d'elles valant a", S, vaudra: % La | = ne D) (tions ns 11] k \ mim 123%, n __ Fe Sy exprimant la somme des combinaisons m—1 à m—1 de ci le Lerr h | M quantités, il y aura m combinaisons (n° 288), et chacune d'elles J n su valant am-1, S,; vaudra .
n # Ta" 4 D'où
5 exprimant le produit abcd.....l. deviendra a. DIent 4
inaisons, le même
renant le dernier abcd.....m.
> donc comme il
it +S,. (1)
loppement, est :
ss des m facteurs
(æ+ a jm, essus , si
deviendra ma.
ns deux à deux
ns, et chacune
is de m quan-
chacune d'elles
inaisons n à n
