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à m—1 de hacune d'elles

RE tn eee ES

RE RE RnuEn nes

cient du terme qui précède, multiplié par

APPENDICE 263 On aura donc :

(a+a)"= am + aa + ii ot) a2xm—2+. ee) asam 3.

. M(mMm—A )(m—2)(m—3).. [m—(n—1)] 1.2.3.4...n

atam—n,,, gate + an,

2%4. Telle est la formule découverte par Newton et qui est connue sous le nom de formule du binôme; elle permet d'écrire immédiatement une puissance quelconque d’un binôme donné sans passer par les puissances inférieures.

Cette formule contient m+1 termes, % élant l'indice de la puissance à oblenir ; son terme général est le m + 1ème du développement; il a pour expression {no 293) :

m(m—i)(m—2) (m—3).…..[m—(n—1 )Janam—n

295. Remarques. I. Les termes extrêmes æ" et am du développement ont le même exposant; c’est l'indice de la puissance du binôme, Dans les autres termes, les exposants de æ diminuent graduellement d’une unité, tandis que ceux de a augmentent, de sorte que la somme des exposants de æ et de & dans un même terme est toujours m. Nous avons déjà reconnu cette loi ne 281.

296. IT. Les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux; car le terme qui a n termes avant lui a pour coeffi-

cient 5, ou CY, et le terme qui a n termes après lui, c’est-à-dire

M—n avant lui, a pour coefficient S,, È

ou Chn

Or (n° 288) C#=C* . Donc.

n mn

Il résulte de cette remarque que lorsque l’on a trouvé les cocfficients de la moitié des termes du développement, on peut se dispenser de calculer les autres.

297. III. Pour obtenir un coefficient d’un terme quelconque, il faut multiplier l'exposant de æ dans le terme qui précède par le coefficient de ce terme et diviser le produit par le rang qu’occupe ce même terme.

En effet, le terme général étant

MMA) (m—2)(m—3)....[m—(n—2)][m—(n—1)]anœm-n | CR ren —"SS—,

le terme qui précède sera :

D'où l’on voit que le coefficient du terme général égale le coeffim—(n—1)

m(m—1){m —2)(m—3)....[m—{(n —2)]an-tom—(m—1

Donc...

Dre 24 LT +

Pr