Soit à diviser aÿ—T par b/—T: ne seror On aura

posant « ay —T dd on divis bÿ=T Le D" nombre, = cal et l’e:

De même le quotient de DV TD et on : opératior Get a+ y—T En rendant rationnel le dénominateur {no 123), on trouve : à —7 + #) de même (a—y=T)( —(e—y—2) .

D’aprè

le radica

et

Exposants fractionnaires et exposants négatifs. Éd fx oi Fe même let 129. Nous avons vu (n° 106) que la racine carrée d’une quan- : 8 # . .

lité telle que «8 était a? où «4, M Ainsi La racine carrée de & séra de même a?

me de a, a,

» €t la racine st

Réduise

L'exposant fractionnaire Provient donc d'une racine im- POSStbie à extraire.

g— Mais la racine carrée de «3 s’indique aussi Vaÿ, et la ra-

et . LES sine mr do. a, War,

on à aussi Donc, les expressions Va et a? sont équivalentes ; . LE biz il en est de même de va et a";

et l’on voit que 4e dénominateur d'un exposant fractionnaire indique le degré d'une racine à ectraire.

: et

D'après cela, l'expression a pourra s'écrire 132. No Le exposants de même yañ « a ° ; calcul des — négatifs.

et 6Vañbcs 8

—T sera :

on trouve :

tifs.

d'une quan-

t la racine

racine im-

, et la ra-

entes ;

chionnaire

130. Lorsque les deux termes d'un exposant fractionnaire ne seront pas premiers entre eux, on Pourra réduire cet exposant à sa plus Simple expression ; Car, par cette opération, on divisera le numérateur et le dénominateur par un même nombre, ce qui revient à diviser par ce nombre l'indice du radical et l'exposant de la quantité placée sous le radical ; or une telle opération ne changera pas la valeur du radical (n° 121), Donc.

D’après cela,

es 4

le radical Ya pourra s'écrire a? ou a; [= 8 3

de même af « a ou a?; CES 15 ÿ

et var « a ou a?.

131. Les règles posées (n°5 49 :; 32) pour la multiplication et la division l’une par l'autre de Leux puissances entières d'une même lettre s'appliquent aussi aux exposants fractionnaires.

gd. D ji

Ainsi arxXa=ai"s, mp mL»

et a Xat—=a" "4,

Réduisant ces exposants au même dénominateur, il vient :

3 5 9+10 UE a xXa —=a 6 a 8 — dé, De D Ed Ne et AN XaT—Q 1 = ami tnp on à aussi DE ee — VEX Va = a x aa 5 —4 = Var, De même CTTEEXT 8 1 2 atsat=at mot, m » m r ma—np nq .

et Qt =" = M — om,

132. Nous avons dit (n° 32) l'origine et la signification des exposants négatifs; démontrons que les règles établies pour le

calcul des exposants positifs s'appliquent aussi aux exposants négatifs,

100 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE 1° Soit à multiplier a-2 par a-3, On peut écrire :

ou a(2+3),

Et 1

— — a (mn) TES a" a" a" +n (4 2° Soit maintenant à diviser a-5 par a-?, On peut écrire :

a où UT se T0" (1 5+2—% 9,

a” nm —m+n.

am 4 =(l

133. Remarques. I. Lorsque les deux membres d'une égalité sont composés chacun d’une partie entière et d'une fraction, il faut nécessairement que les parties entières soient égales entre

elles et que les fractions soient aussi égales entre elles. Soit l'égalité A+F=B—+F", dans laquelle À et B représentent des nombres entiers, F et F' des fractions. On peut écrire en transposant les termes :

si elle n’est pas nulle, es fractions, leur difré-

quence absurde q une fraction. Donc il faut que AB e

134. IT. Lorsque les deux membres d'une égalité sont composés l’un d'une quantité réelle b, l’autre d'une quantité imaginaire de la forme aÿ/—1, il faut que l’on ait b—0 et a—0,.

En effet, dans l'égal'té b=ay—T, si a et b n'étaient pas nuls, il faudrait conclure qu'une quantité réelle b égale une quantité imaginaire ayÿ—T, çe qui est absurde, Ainsi, en écri- Vant b=ay—T, on suppose que a et b sont nuls.