LI
La première élevée au cube devient
D— 3° y HP — yÿ°=8 ,
ou D Pen By (mt) = 8 5
remplaçons L—1ÿ par 98 et %—Y par 2, on trouve : 08 —6xy—=S8
ou
ay=Aÿ, On connaît la différence 2 et le
produit 15 des inconnues , ef l'on tombe dans le cas du n° 9, Les équations résolues donnent
"yes,
Ve À L9 8 eme
On résoudrait d'une manière analogue les équations
T+y=6 LILI — 196.
Cependant on peut employer la méthode su
l'équation (92) par l'équation (1) et il vient
ivante. Divisons
dy 100, Dh ar ue.
ou (n° 43), L?— y Li —91, :
(3 La valeur y—6—» tirée de l'équation (1) étant mise à la place de 7 dans l'équation (3), on trouve :
d’où d"—=$
Ces valeurs portées à la place de x dans l'équation
(1) donnent : VE et
50 Sort le Système des deux équations
LL q?
Ty Ù?,
Deux fo chée de la
Prenons
On conr
6° Soit |
La secon et la premi
Divisons
d’où et
cette valeu
Connaiss:
soudra les
171, Re consistent :
et à résoud cines sont
on trouve :
connues , et >s donnent
mise à la
donnent :
Deux fois la seconde équation ajoutée à la première ou retranchée de la première donne successivement :
AL + dry a? +?
LH — y a? —9P?,
Prenons la racine carrée de chacune de ces équations : L+y=+ya+9p L—Yy—=+V a? —92p?,
On connaît la somme et la différence, donc
a+ Va+ 2 a —02p?
Y=+ VRPEAUe y a? —9p?
6° Sort le système des deux équations
dy — dy? = 380 (4) ue (2) re SE La seconde devient, quand on chasse les dénominateurs 2ry— AS ce —1y), (3) et la première peut s’écrire y(e—y)=30. (4) Divisons la 3 par la 4, on trouve 2 x—y D—y— 9 d'où (æ—y)}=4 et L—ÿ—=); cette valeur portée dans l'équation 3 donne œy=15,
Connaissant la différence et le produit des inconnues, on résoudra les équations comme au n° 2.
171, Remarque I. On voit que la plupart des artifices de calcul consistent à trouver la somme et le produit de deux inconnues, et à résoudre ensuite une équation du second degré dont les racines sont précisément les valeurs de chacune des inconnues.
: Cette « 172. REMARQUE IL. De la première équation du no à, LH q?, À coefficie: on tire LE Va, égaux et b? È eur r'e et de la seconde, nr # valeurt 7 peut faci Égalons ces valeurs : E - b? P: telle que + Var—ip— % : : En gro élevons tout au carré # Ex e pi À proposé Re ou PP, D Diviso Jp bi, È terme, il Posons %—3 d'où Ytexa?; l'équation devient alors !
: 2 — 3 hi : Posons L jt af 4bi où 5 Où P—G+ dr d’où Sn — — : 4 | . + Jai Zi L'équa 9 nn à — d’où 2 = oo Or nous avons trouvé Pour racine de cette même équ''ion résolue au moyen d'artifices de calcul 91 — € ! DA — > VOOR op:
Y=H —— MS Ve nee , il faut donc que ces deux valeurs de : soient équivalentes : d'où re lee 4 { pour le vérifier, élevons au Carré la dernière, 21 9p2 0h D —— :
12 —Q —+2b a … 9 Q 9 ®,2 y a LT (a+ 98? (a —92b ) a? at— bi GENE" | a — Mainte:
ENTER Tr.
: LE Va — id d’où y=+V/ Eva 2 ;
3 par se:
valeur identique à la première,
. Soit à résoudre l'équation
Ba 9 3 +9 — D),
Cette équation complète du quatrième degré, dans laquelle les
LL 2 x = : :
Ty=a, coefficients des termes placés à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, est une équation réciproque ; Car sa valeur reste la même quand on remplace æ par 1 comme on
a peut facilement s’en assurer, D'après cela, s’il existe une racine telle que æ=—a, il y en aura une autre de la forme pet a En groupant les termes qui ont le même coefficient, l'équation proposée peut s'écrire :
2x1) —3 (a Lo) — a —0, Divisons tout par æ?, afin de faire disparaître x du dernier terme, il vient :
2 ne — (ar) Sas) —1=0 (2) nil, Posons LH, d'où bte LÉ D— »2__9 où += (à > —2— 3 —9, L'équation (2) devient alors :
2(22—92)—33—1—0, u'ion ré- , Fi 23—4—35—1—0, æ [4 2 Pa D .
3 D 0 =0 , valentes; BR d'oi RU 74 5 ; 4 FN 56 to t Fo T ou LA | 174 2 bp 7 PE eue es et es u 1.
à si 1 Maintenant si, dans l'équation DH, nous remplaçons
3 par ses valeurs, on a :
L'équation (3) devient successivement :
EXEMPLE
à remarquon
DH On peut d'où d'=d et a"! LE = Supposo L'équation 4 devient aussi : proposée d a? (l =—d, | ou
$ pe ‘où, en di Mi oddep, ur Le terme contu 1 6
tant plus grand que le carré de la moitié du coefficient de ,
‘ SC Eh der A Pour rés les racines sont imaginaires {n° 155),
Ainsi, l'équation proposée à deux racines réelles, 2 et g » Cl Les racin deux racines imaginaires. :
$ VI. — Équations binômes. — . en multipli 174. Une équation binôme est une équ
ation à deux termes dont l’un est Connu; elle peut être r
amenée à la forme LM A0, dans laquelle A est positif ou nég
gatif. 2 Soit l Extrayons la racine mère de A; appelons « cette racine et : SLA 6 - * d” écrivons :
m ÉEnere LS — M .
VA=G; d'où A—4 ; DU Les racine et l'équation devient
dE an —(), ; : ’ : à 30 Soit l'é Si nous Supposons que #4; y élant une inconnue auxiliaire, a égalera a", et on aura : ‘14 ét ay" a" —( : i d" L 4 . a?
d'où, en supprimant le facteur a", :
et les racines y"+1=0,
à laquelle on peut {oujours ramener une et équation binôme; elle permet généralement de ealeuler y. Les Cette derni Valeurs de y étant trouvées, on les multiplie par & et on ob- du do 1
tient celles de +,
Telle est la forme
Carré de la
es {n° 155),
2 et,et
Aux termes
racine et
ue auxi-
ner une y. Les t on ob-
du n° 173.
EXEMPLES : 1° Soit à résoudre l'équation
di 81—1 ; he
remarquons que VS1=3,
On peut donc écrire —3— 0,
Supposons que æ==3y; alors D'ou "at l'équation
proposée deviendra :
BiX y —31—0, d'où, en divisant par 31, yÿ"—1=0, forme générale, Pour résoudre cette dernière équation on écrit : PP) (a A) (y A) (y = 0.
Les racines sont données par les équations ÿ+1=0; d'où y=+y—T, y+1=0; d'où y=—1, Yy—1=0; d'où y—1, en multipliant ces racines par 3, on a pour celles de æ—=#+3y—1, —=—3, œ = 2 Soil l'équation a 1—0, a 1 étant divisible par œ1 (n° 43), on peut écrire LA ao A) LA) —0, Les racines sont données par les équations a+ 1=0,. et æ+1—0 30 Soit l'équation a+ 1 —=0, +41 étant divisible par æ—+1, on peut écrire {n° 43) : += (at 08 Lo +1)(x+1)=0, et les racines sont données par les équetions i æ+1—=0 et Dh Lot A —0, Cette dernière est une équation réciproque analogue à celle
ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE 49 Soit encore l'équation d—1—0, On peut écrire :
= (ose 1) —
Or LA n'est autre que l'équation 2 ci-dessus, et æ—1]
est divisible par æ—1, d'où LA = (2x1) (1) —0.
Les trois racines de cette dernière équation s'obtiennent en égalant à zéro les facteurs d'ao+i, et x—1,
Problèmes du second degré.
L. Combien a-t-on eu de mètres de drap pour 240 fr., sachant que si le mètre avait coûté 3 fr. de moins, on aurait eu 4 mètres de plus.
Soit æ le nombre de mètres.
24 . : : 240 î S — €xprimera le prix du mètre et a. le prix du mètre æ +4
dans le second cas; mais alors le mètre coûte 3 fr. de moins, il
24 ’ eue pour égaler ‘2 de là
manque donc 3 fr. au quotient
l'équation
Multiplions tous les termes par æ(æ—+4), on trouve : 2407 + 960 —2402 + 34° + 19% ; d'où d'—16 et x'—90, On a donc eu 16 mèt. La seconde réponse n'est pas admis-
sible; cependant, si on change son signe, elle indique qu'on aurait eu 20 mèt. si le prix du mètre eñt été diminué de 3 fr.
IT. Deux associés ont retiré de leur commerce 2500 fr. mise et bénéfice ; le premier « eu 300 fr. de gain; on sait d’ailleurs que le second avait mis 800 fr. : trouver la mise du premier el le gain du second.
Appelon a d’abord :
Les gain
d'où On conn peut donc €
d'où
IT. Couy section soi lottes qui section.
Pour rés déterminer mener le pl:
Appelons de la sphère
La surface
Celle de la
Et celle de De là l'équat
d’où
La second.
grande que
IV. Un pe 8000 fr. ; ap duits, et pla mier ; alors le premier t
us, et æ—1
>btiennent en |
r 240 fr., sa- S, On aurail
ix du mètre
de moins, il
es de là æd
uve :
pas admise qu'on aueäfr.
0 fr. mise d'ailleurs u premier
Appelons æ la mise du premier et y le gain du second; on a d’abord :
Les gains étant proportionnels aux mises, on a encore :
d'où æy==240 000.
On connaît la somme et le produit des deux inconnues; on peut donc écrire :
X2—1 400X +940 000 —0 $ d'où æ—=19200 et y—=900.
LIL. Couper une sphère par un plan de manière que la seclion soit la différence des deux calottes qui ont pour base commune cette section.
Pour résoudre ce problème, il suffit de déterminer à quelle distance du centre il faut mener le plan sécant.
Appelons x cette distance et R le rayon de la sphère.
La surface de la section est r(R—ax?), Celle de la calotte supérieure sera (voir Géométrie, par F.P.B., n° 463) 2rR(R—x),
Et celle de la calotte inférieure, 27R(R+x).
De là l'équation :
T Ra) IR (R + x) —97R(R—x), R°—2—92R(R+x—R tx), 2? + 4Rx—R?—0, d'où L—=—IRHERY5, d'=—9R+RY5 : d"—=—92R—RY5.
La seconde réponse n'est pas admissible; car elle est plus grande que R, en valeur absolue.
IV. Un particulier place à un certain laux un capital de 8000 fr. ; après un an, il retire ce capital et les intérêts produits, et place le tout à un taux supérieur de À fr. au pre- Mer ; alors il retire un revenu annuel de M6 fr. : quel était le premier taux ?
8000 fr. en un an. Le nouveau capital est alors
Et ce capital au taux æ+- 1 p.°/, rapporte (8000-80) {1 On aura donc l'équation (8 el IT qui se réduit à :
2? + 101x%—4920—0, d'où d'=4/, et x"—105,
La première racine est seule 4 p.19,
V. Une croisée terminée m mèôtres sous clef de le rayon du demi-cercle.
Soit æ ce rayon.
: : rl”
L’aire du demi-cercle est =; Celle de
la partie rectangulaire est 2, C(m—x); dejà l'équation
( 4x )2? — mix +9s—0,
: 2m V4m 0 47) d'où æ—=*"2Æ2Vv \ :
Le dénominateur 4—x étant une fraction, le premier terme 2%» du numérateur, divisé par 4—7, donne un quotient plus grand que %n. Mais la valeur de æ doit être plus petite que M, donc il faut que le radical soit pris avec le signe négatif. Le même raisonnement montre que le radical ne peut être nul, Car æ serait plus grand que m, et comme d'ailleurs sa valeur doit être positive, sans quoi les solutions seraient ima-
ginaires, il s'ensuit que 4m° est toujours plus grand que 282(4—x),
100 ou S0r exprime l'intérêt de
admissible, Le taux était donc
Par un demi- cercle mesure voüle et a pour surface 2: trouver
