CHAPITRE Y

cette valeur et nous aurons enfin, pour la solution du problè. me, les deux formules

HH = at aies 1.

ne forme ous cette forme rien n’est si facile que d'assi. | A gner les limites demandées, car, pour queæ et y PEU oient entiers et positifs, il faut prendre pour

M l'indéterminée t les nombres entiers qui satisfont aura à la foitSS à la double condition

5t <'I2et3% > 1,

ou bien ic din on de %,01 5 3 comme on

En conséquence, puisque + doit être entier et + ©

2 | compris entre- et — on ne pourra avoir que t = s de dénomi o 0

mbre entier ÆS1 ou t — 2,

donnera des

mais t—1donnez=7ety=9,

pr cs et t== 2 =? y=5

des solution e en outre à nt.

voie d'élimi res trouvé

Le problème offre donc deux solutions et pas davantage,

Vérification. D'après la première solution, on aurait bu 7 bouteilles de bordeaux à 3 fr. et 2

bouteilles de champagne à 5 fr., ce qui fait bien en tout 31 fr.

D'après la seconde, il y aurait eu 2 bouteilles

de bordeaux, 6 fr., et 5 bouteilles de champagne, 9 fr., ou soit encore 31 à

145. En résumant la marche que nous venons 1, de tracer, on voit que la recherche des solutions 12 ee 8 entieres et positives d’un problème indéterminé 'Ousisie à tirer de l'équation du problème la

valut de l’inconnue qui a le plus petit coeff. cient ; à opérer des divisions successives qui font diminuer les coefficients jusqu’à ce que l’un d’eux soit ramené à l'unité ; à introduire de nouvelles

indéterminées, pour donner une expression entière aux valeurs de toutes les inconnues, et À éliminer ensuite entre ces expressions le plus grana nombre possible des indéterminées intro. uites.

146. Mais hâtons-nous de dire qu'avant d'ap pliquer cette règle à une équation donnée, il faut classer ses dénominateurs si elle en a, et la dé. barrasser des facteurs qui pourraient être com:muns à tous ses termes. En outre, il est possible de connaître à l’avance si le problème proposé aura ou non des solutions entières. J1 existe à ce sujet le princip? suivant:

147. Pour qu'une équation à plusieurs inconnues admette des solutions entières, il faut et il suffit que les coefficients ENTIERS de ces inconnues soient pre: miers entre eux, où bien, s'ils ont un faci. "ur com. mun, que ce facteur divise également le terme tout connu.

Remarquons d’abord que, si tous les termes de l'équation avaient un facteur commun, il faudrait l’en débarrasser dans tous les cas, en sorte qu’on peut toujours supposer que le terme tout connu est premier avec les coefficients ; maisil faut, ae plus, que les coefficients soient premiers entre eux, car la méthode appliquée ci-dessus l'équation 3x + 5y = 31 consiste à diviser le plus grand coefficient 5 par le plus petit, ensuite ce dernier par le reste de leur division, ce premier reste par le second reste, et ainsi de suite jusquà ce qu'on obtienne l'unité pour ie dernier reste,

c'est-à dire qu’on pratique sur ies coefficients des ff

deux inconnues la recherche du plus grand com-

mun diviseur. Par conséquent, pour arriver à (3e

l'uni entre Si,

dans t tour C avoir par ce

et que:

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