D'UN SEGMENT DE COURBE PLANE

1. Infiniment petits. — Le calcul différentiel et le calcul intégral reposent sur la notion des quantités infiniment petites et sur l'emploi de deux théorèmes fondamentaux.

On appelle quantité ùifuiiment petite une quantité variable (jiii tend vers zéro. Ainsi, pour exprimer ce lait que sin ^ tend vers zéro, quand r tend vers zéro, on dit que sin .r est infiniment petit en même temps que jr.

Considérons différentes quantités :

(jui sont infiniment petites en même temps : cela veut dire que, quand l'une d'elles tend vers zéro, il en est de même des autres. 11 est important de comparer ces quantités entre elles : comparons-les, par exemple, à a que nous nommerons pour cette raison infiniment petit principal.

Infiniment petits du premier ordre. — On dit que ^ est infinies ment petit du premier ordre par rapport à a, si le rapport ■^—

APPELL. Analyse. i*

i COVRS D'ANALYSE

Ic.ul vers une limite finie et différente de zéro, quimd a tend

vers zéro :

lini-ii=:Â-, k^O.

On peut alors poser

£ étant infiniment petit en même temps que a ; on en conclut

On a ainsi l'expression générale des infiniment petits du premier ordre : ce qui varie d'un infiniment petit du premier ordre à un autre, c'est la valeur de la constante k et de Tinfiniment petit £. La quantité aA' est i\\t^e\ée partie principale de [^. On peut remar([uer que le rapport de jj à sa partie principale tend vers 1, quand a tend vers zéro. On a, en effet

et le second membre tend évidemment vers 1 quand a tend vers

Exemples. — Soit a un infiniment petit. La quantité

P = sin 2a ^

est infiniment petite avec a ; elle est du premier ordre par rapport à a, car le rapport

3 sin 2a ^ sin 2 a

tend vers 2 quand a tend vers zéro, puisque le rapport du sinus

à l'arc tend vers 1. La partie principale de ,3 est 2 a : le rapport

de 3 à sa partie principale 77- tend vers 1. * za

IJijmiMENr PETITS. DIFFERENTIELLES \

De même

est un infiniment petit du premier ordre, car — tend vers 3 ; la