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Le plan mobile est alors le plan osculateur à cette courbe : c'est ce qu'on vérifiera en se reportant au calcul du n*' 175.

La caractéristique définie par les équations (4) et (5) est la tangente à la courbe A.

211. Althe exemple. Enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée, — Soient ^/, A, r, les coordonnées du centre M de la sphère : ce point décrivant une courbe donnée F, ses coordonnées sont fonctions d'un paramètre u :

L'équation de la sphère mobile est donc

Pour avoir la courbe caractéristique suivant laquelle cette sphère touche son enveloppe, il faut associer à cette équation l'équation dérivée par rapport au paramètre u

(10) [x-fi,r] /'(«; + [y - -f («)] -f' i'<] + [= - i («)] ¥ (") = 0-

Si l'on regarde .r, y, :;: comme des coordonnées courantes, cette

équation représente un plan passant par le point M(«, h, c) de la courbe F et perpendiculaire à la tangente M/ à cette courbe, car les cosinus directeurs de cette tangente sont proportionnels à f [u), '•^'{fi)-, '^' {ff)

ifig-m).

La caractéristique de la sphère S est donc à l'intersection de celte sphère avec le plan normal à la courbe T, au point M,

centre de la sphère : on peut dire que

tig. 109. ^ * , *■ *■

cette caractéristique est le cercle obtenu en portant sur les normales à la courbe T, au point M, des longueurs constantes égales à R. L'enveloppe est le lieu de ces caractéristiques, c'est-à-dire le lieu obtenu en portant sur toutes les normales à la courbe F des longueurs constantes égales à R ; ces normales sont aussi les normales à la surface enveloppe.

La surface enveloppe ainsi obtenue est une surface canal. Par exemple, si la ligne F est une ligne droite, la surface canal devient un cylindre de révolution autour de cette droite : les caractéristiques sont les parallèles du cylindre.

Dans le cas général, les caractéristiques ont une enveloppe arête de rehroussejnenl de la surface canal ; mais cette enveloppe peut être imaginaire, quand R est suilisamment petit.

IV, - ENVELOPPE D'U^iE FAMILLE DE SURFACES A DEUX PARAMÉTRES