ESVELOPPE DE SURFACES A UN PARAMÈTRE

Or cela est évident, car ces équations se réduisent aux trois suivantes

OF (VF

Ces équations déterminent jc, //, z en fonction de \. Lorsque A varie, le point ainsi déterminé décrit l'enveloppe des caractéristiques, c'est-à-dire l'arête de rebroussement A de la surface enveloppe. Il peut arriver que les valeurs de x^y,z tirées des équations (A) soient imaginaires : l'arête de rebroussement n'existe pas dans ce cas.

209. Exemple. Enveloppe d'un plan mobile à un paramètre : surfaces dèveloppables, — Soit

(1) A.r + By + (:c4-D=0,

l'équation d'un plan mobile, dont les coefficients A, B, C, D sont fonctions d'un paramètre A. Cherchons l'enveloppe de ce plan. D'abord, pour avoir la caractéristique suivant laquelle le plan touche son enveloppe, il faut joindre, à l'équation du plan, l'équation dérivée par rapport à Â :

(2) A'^ + BV + C';+D' = 0,

A', B^, C, D^ désignant les dérivées des coefficients par rapport à A.

La caractéristique est donc une droite. L'enveloppe est le lieu de ces caractéristiques; c'est donc une surface réglée. Cette surface est développable, car, le plan mobile touchant son enveloppe tout le long de la caractéristique, le plan tangent à la surface réglée est le même tout le long de la génératrice. Enfin les caractéristiques (génératrices rectilignes de la surface) ont une (enveloppe A, dont les points sont définis par les trois équations

A^ + B?/-4-C^-hD = 0, (A) ) A^a; + B'y + C.c-hD' = 0,

où les dérivées secondes des coeflicients par rapport à A sont

34o COURS D'ANALYSE

désignées par deux accents. Ces équations déterminent r, y, z en fonction de )., et, quand A varie, le point ainsi défini décrit Tenveloppe des génératrices de la surface développable, c'est-àdire l'arête de rebroussement de la surface.

Nous avons vu que le plan tangent à une surface développable est le plan osculateur à l'arête de rebroussement de la surface ; actuellement, le plan donné

A.r + Bî/ + C3 + D=:0,

est donc le plan osculateur à l'arête de rebroussement définie par les Irois relations (A).

En résumé, on voit qu'un plan mobile, à un paramètre, enveloppe une surface développable, et que ce plan est osculateur à l'arête de rebroussement de la surface.

Réciproquement, toute surface développable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile à un paramètre : en effet, elle est l'enveloppe de son plan tangent, c'est-à-dire du plan osculateur à son arête de rebroussement.

On peut également présenter ce résultat en disant que l'enveloppe du plan osculateur d'une courbe gauche est la surface développable engendrée par les tangentes à cette courbe : la caractéristique du plan osculateur à une courbe (intersection d'un plan osculateur avec un plan osculateur infiniment voisin' est donc la tangente à la courbe.

On se rappellera ce fait par le procédé mnémonique suivant :

le plan osculateur en M à une courbe

gauche est le plan du point M et de deux

points infiniment voisins Mj et M' ; le

plan osculateur en M^ est le plan du

Fig. io8. point M' et de deux points infiniment

voisins M et M". L'intersection de ces

deux plans est la corde MM' joignant deux points infinimeiU

voisins, c'est-à-dire la tangente à la courbe en M.

210. Exemple de l'enveloppe d'un plan à un paramètre. — Soit à trouver l'enveloppe du plan

(4) i,-^-JL,+}L^o.

ENVELOPPE DE SURFACES A UN PARAMETRE i\l

\a\ caiMc tt'i isti(|ue s'obtient, en associant à cette équation réquation dciivée

Pour avoir Tenveloppe, il faudrait éliminer A entre ces équations (4) et (5). On aurait «linsi une surface développable.

I/aréte de rebroussement A de la surface s'obtient, en associant aux (Hjuations (4) et (5) la nouvelle équation dérivée

Les trois équations (4), (5) et (6) donnent les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement; en les résolvant, on a :