Exemple I. — Cherchons l'enveloppe du plan

Le point de contact du plan avec l'enveloppe s'obtient, en associant à cette équation les deux équations dérivées par rapport à A et ix :

a:4-uL=0, //-f-A = 0.

L'enveloppe s'obtient en éliminant A et jjl entre les trois équations, ce qui donne le paraboloïde

214. Exemple II. Enveloppe d'une sphère de rayon constant R, dont le centre décrit une surface fixe donnée. — Soient a, h, c les coordonnées du centre de la sphère,

l'équation de la surface S que décrit ce point. L'équation de la sphère mobile est

(S) (^ - af + [,j- hf + [z -f[a, b)Y - R' = 0,

avec deux paramètres a et h. Pour avoir les points de contact de la sphère S avec son enveloppe, il faut associer à l'équation (S) les deux équations dérivées par rapport a a et à b.

Ces deux équations s'écrivent comme il suit, en désignant par

p et q les dérivées partielles -:-i— et-Yy- :

Voici comment on peut interpréter géométriquement ces équations : si on regarde x, y, z comme des coordonnées cou-

rantes, ces deux équations représentent la normale à la surface S, au point C(âr, b, c). En effet, les équations de la normale h cette surface sont

en y remplaçant c par f^a, h) et chassant les dénominateurs, on obtient les deux équations (2).

Ainsi, la sphère touche son enveloppe en deux points M et M', situés à l'intersection de la sphère avec le diamètre normal à la surface 2 (fig. 110).

On peut dire aussi qu'on obtient Tenveloppe, en portant sur les normales aux divers points C de la surface 2 des longueurs CM = C]Vr=R. La surface enveloppe, lieu des points M et M', s'appelle surface parallèle à S : les plans tangents en M et M' à l'enveloppe étant tangents à la sphère, sont, en effet, parallèles au plan tangent en C à S, puisque ces trois plans sont tous perpendiculaires au diamètre MCM^

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