I. - DÉFINITION ET FORMULES
215. Courbure d'un cercle. — D'après l'idée vulgaire de courbure, un cercle a une courbure d'autant plus grande qu'il s'éloigne plus rapidement d'une de ses tangentes, c'est-à-dire que son rayon est plus petit. En précisant cette notion, on convient d'appeler courbure d'un cercle de rayon R, l'inverse du rayon
On peut, comme il suit, évaluer la courbure d'un cercle dont on connaît seulement t..
rig^. III.
un arc MAf . Menons les tangentes M^ et Wt'
au cercle, aux extrémités M et M' de l'arc considéré, dans un même sens de circulation sur le cercle, et appelons s l'angle de ces deux tangentes. Cet angle étant égal à l'angle au centre MOM', on a [fjg. 111)
arcMM' = R£,
d'où
R arc M\r formule qui donne la courbure du cercle.
216. Courbure moyenne d'un arc de courbe. Courbure en un point, — On étend les notions précédentes à une courbe plane quelconque de la façon suivante :
Soit [fîg. 112) MM' un arc d'une courbe plane, Mret MY les tangentes menées, aux extrémités de cet arc, dans un même sens
de circulation sur la courbe, et désignons par £ l'angle de ces deux tant gentes, que l'on nomme l'angle de contin<j^ence . On appelle courbure moyenne de l'arc MM' le rapport
arc MM'
Fig. 112. Quand le point M' se rapproche du
point M, ce rapport varie.
On appelle courbure au point M la limite vers laquelle tend la courbure moyenne de l'arc MM', quand le point M' tend vers le point M :
Courbure en M = lim
arc MM
On désigne cette courbure par -5-, et on convient d'appeler R
le rayon de courbure de la courbe au point M. Ainsi, le rayon de courbure en un point est inverse de la courbure en ce point :
^ ,. arc MM' R = lim
217. Centre de courbure en un point d'une courbe; cercle de courbure ou cercle osculateur. — Le centre de courbure C d'une courbe en un point M est le point obtenu en portant, sur la normale, dans la concavité de la courbe, une longueur MC égale au rayon de courbure R au point M (Voyez figure 112).
Le cercle de courbure ou cercle osculateur en M est le cercle décrit du centre de courbure C comme centre, avec le rayon de courbure R comme rayon. Ce cercle est tangent à la courbe eUsM ; nous verrons plus loin qu'en général il traverse la courbe au point M; de tous les cercles passant par M, c'est celui qui se rapproche le plus de la courbe, au voisinage du point M.
218. Expression du rayon de courbure en coordonnées rectangulaires. — Soit une courbe plane, sur la([uelle nous pren-
COURBURE. DÉFIISITIOy ET FORMULES 34;
(Irons une origine O' des arcs s. Désignons par o- l'angle de la tangente Mt à la courbe avec une direction fixe O.r (Voyez fig. 112). Quand le point M se déplace en M', Tare O'M augmente de l'arc M\r = Ai-, et Tangle t augmente de At. L'angle s des tangentes Mt et M't^ est égal à la valeur absolue de At. On a donc, pour la courbure moyenne de l'arc MM', l'expression
£ At
arc MM' As
où il faut choisir le signe de façon à avoir un résultat positif.
La courbure — au point M est alors donnée par la formule
1 ,. £ . ,. At
-. = hm ^Y^jT- = =h hm — —
R arc MM' As
At dv
As ds
Or la limite de -; — est —r- ; on a donc
R —ds
où le signe doit être choisi de façon que — soit positif.
En désignant les coordonnées d'un point M de la courbe
par .r et //, on a
dit tang.=:---,
d'où
et d7=^
du (j = arc tanff ^^, ^ dx
d.vd-i/ — di/d'.v
d.v- dxd-y — di/d^x
i+i-^y dx'+d,f
D'autre part :
donc
ds=\/dx^-\-di/',
\rd\f/ - [dx'-^-dif)
1 di j d.rd-i/ — dyd^x
Supposons que les coordonnées d'un point de la courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre n par les formules
on aura, en prenant n comme variable indépendante,
d.v =f[n) du , (Ifj = 'f' { u ) du ,
d^r = f [u) du\ dhj = f(u] du\
1 ^ff-:^f'^ ^
yy2 L,,/2NT
Si on suppose l'équation de la courbe résolue par rapport à y et si on prend r comme variable indépendante, on a, en désignant par ij' et ij" les dérivées première et deuxième de y par rapport à x :
dy = y'dx, d^y = y"d.i'^ , d'jc = 0 ;
et, par suite,
Dans toutes ces formules, il faut prendre le signe de telle façon que R soit positif. Par exemple, dans la dernière formule, il faudra prendre le signe + si y est positif, c'est-à-dire si la courbe en M tourne sa concavité vers les // positifs ; il faudra prendre — , dans le cas contraire.
En un point d'inflexion, //''== 0, le rayon de courbure est infini : le cercle osculateur se confond avec la tangente.
219. Rayon de courbure d'une conique. — Considérons une conique rapportée à un axe 0.r et à la tangente au sommet Oy. L'équation de la courbe est de la forme
p est le paramètre de la conique ; le genre de la conique dépend du signe de q :
Si 7<0, la courbe est une ellipse;
Si ^>(), hyperbole ;
Si ^ = 0, parabole.
