COURBURE ET TORSION. FORMULES

Elevant ces relations au carré et ajoutant, on a

1 (cItI'V /(lyy (<i^'"Y

Nous avons ainsi les dérivées de a, j^, y, y. , ,^^ ?*' ' P*^^* rapport à l'arc s. Pour compléter le tableau des lormules, il reste à calculer les dérivées de a', ^3', v' par rapport à s. Or, entre a, a', a", a lieu la relation

ai 4- a^* 4- *'''=!,

car a, a', y!' sont les cosinus des angles que lait la direction Ox avec les arêtes du trièdre trirectangle M/, MX', MN '^ Différentiant cette relation par rapport à 5, on a

dcL , tW ,, tW

ds as as

Remplaçons —7— et — ; — par leurs valeurs précédemment trou-

ol' a' ^! . /^^ vées -ïT- ^t "Tp- , puis divisons par a', nous aurons

doL' __ g ol"

ds ~~ R ~T~'

On trouve, de même, deux autres formules en remplaçant a par ^ et v ; ce qui donne le nouveau groupe

ds ""

dv'

Elevant ces formules au carré et ajoutant, en tenant compte des relations

on a

SHo COURS D'ANALYSE

Tel est l'ensemble des formules relatives à la courbure et à la torsion des courbes gauches.

237. Usage de ces formules pour le calcul de H et T. — Si on donne une courbe gauche définie par les équations

on a

(U- = f (n) (la, ily = '/(//) du, dz '-=■. ^l^'iu) du ,

ds == \/fM^^YM^ du .

Le signe du radical dépendra du sens choisi pour les arcs positifs. Par exemple, si on convient de compter les arcs s dans le sens dans lequel se déplace le point x, y, z , quand u croit, ds et du sont de mêmes signes, le radical est pris positivement.

Les cosinus directeurs de la tangente a, j^, ^ sont alors donnés par les formules

d.v f ^ d]f dz

ds \J'm j ,riï j ^'i- ' ' ds ' * ds

ce sont donc des fonctions connues de //. Les formules

K ^ ds'

iWiihm-Ai):

donnent, ensuite, — , -Jy- , -^ et-— en fonction de u. rormanl

ensuite ,... on a, par les lormules as

R T ds '""'

-ijr-i "T^^'np"" et -FÎ7 en fonction de //. On en déduit les cosinus

directeurs a'', ^'\ y" de la binormale en fonction de u.

On a, ainsi, tous les éléments de la courbe, au point M, exprimés en fonction de u.

cor luu ni: i: i lonsioy. i ohmiles 38i

Dans cci'laiiis cas, si on connaît le plan osculah'ur, on connaît directement a",|^'',Y''en l'onctiou de u et on peut calculer v.\ ,j ,7 , T par les forinnles

T-\/hû-)A±-)Air.

ds T' ' T V \^/6- J ' \ ds J ' \ ds

238. Remarque sur le cas particulier où s est pris comme variable indépendante. — Si l'arc s est pris conimo variable indépendante, r/-.s' = 0, on a alors ;

doL

ds'

' du-

ds' R ''

K^ V ds^' / ^\ ds' J ^\ ds' J

Mais c<'lt«' formule simple ne s'applique que si s est la variable indépendante, cas qui se présente rarement. Dans le cas général, où la variable indépendante serait quelconque, on aurait

d.r ds '

j dsd-.v — dxd-s

dy. --^= ; f

ds'-

dy. dsd'jc — dxd-s

ds ds'

Les quantités "î^-,-^ seraient alors données par des expressions analogues, et, en faisant la somme des carrés de ces expressions, on aurait une formule générale donnant -rr^, formule qu'il est inutile d'écrire ici.

239. Normale principale. Centre de courbure. — Avant de faire des applications, il nous reste à vérifier que la direction de la normale principale MV, définie par les cosinus directeurs a', ,3',^, est située du côté de la concavité de la courbe.

Pour cela, nous allons montrer que, si Mj est un point de la courbe infiniment voisin de M, la projection du segment MM, sur la direction MN' est positive, c'est-à-dire que le point M, se projette sur la partie positive de MN' {fig. 124).

En effet, .r, y^z étant les coordonnées du point M et ^^j, y , r, celles de M,, le segment MM^ a pour projec- ' tion sur les axes

et, sur la direction MN', la quantité

p == a'(x. - x) + fy(y, - y) + t'(.^ - z).

Il faut vérifier que P est positif. Soient

les coordonnées de M en fonction de l'arc s : celles de M^ s'obtiennent en faisant croître s d'une quantité infiniment petite //. On a donc

•^■i = /*(*' + ^0. Vi = ? (* 4- h), z, = 'h[s-\- h) ;

développons par la formule de Taylor :

Nous avons

Donc

de même

2 R ' Portant dans la valeur de P et tenant compte des relations

aa' + 3fi' + 1-.' = 0, a'^ + ?'^ + y'^ = 1 , on trouve

2R ^'"' quantité positive pour // infiniment petit, positif ou négatif.

Centre de courbure. — Le centre de courbure C s'obtient en

cornu m E et torsios. formules 385

portant sur lu normale principale MX', flans la concavité de la combe, une longueur MC égale au ravon de courbure R. Les coordonnées du point C sont égales k celles de M, augmentées (les projections de MC sur les trois axes : elles ont donc pour expressions :

240. Cercle osculateur. — Le cercle osculateur est le cercle situé dans le plan osculateur, décrit du centre de courbure comme centre, avec le ravon de courbure comme ravon.