Formules de Frenet. — Désignons par

les cosinus directeurs de la tangente M/ à la eourhe gauche, par

les cosinus directeurs de la normale principale MX , ri par

(MX-, a", ?", Y",

(MMix de la l)i-normale.

Les cosinus directeurs de la tangente sont donnés par les formules (n« IGl).

^ ' fis ' (h • (Is

Si on prend le centre O de la sphère comme origine, le point A, décrivant la courbe t, a pour coordonnées

car le rayon OA, parallèle à la tangente, a pour longueur 1 et pour cosinus directeurs a,j3,Y. La tangente AF à la courbe, lieu du point A, étant parallèle à la normale principale, a pour cosinus directeurs a',3',v'. En appliquant les formules générales (1), donnant les cosinus directeurs de la tangente d'une c<mrbe, à la courbe or, on a donc

((7 d'y * dv

car les coordonnées d'un point de cette courbe sont a, [i, y, et son arc est i. Xous écrirons la première de ces formules

7 fi f^^ / ^^

rfa = a rt T, —7- = a — j— •

ds ds

Mais, d'après la définition de la courbure, on a, R désignant le rayon de courbure,

On transforme, de même, les deux autres formules et on trouve

ds~~'K' iU^~K' ds ~TÏ"

Élevant ces relations au carré et ajoutant, on a, en vertu de la relation a'- + P'^ H-y'- = 1,

Passons à la courbe t, lieu du point B. La droite OB étant parallèle à la binormale MX'', les coordonnées du point B sont

La tangente BII à la courbe t, étant parallèle à la normale principale MN', ses cosinus directeurs sont a', ^' , y'; donc en appliquant à la courbe t les formules générales (1) donnant les cosinus directeurs de la tangente à une courbe, on a

v'^«" 3'iËl ./'¥'

Nous écrirons la première de ces ruriuules

as as

Mais, d'après la définition de la torsion et en désignant par T le rayon de torsion, on a

L —A ï "~ (Is ' d'où

ds ~" ï On transforme, de même, les deux autres formules et on a

*■ -* ds ~ J ds ~ t' ds ~ t'