Cas où la roulette est sur le prolongement de la tige
— Nous avons supposé, dans ce qui précède, la roulette placée
entre A et B. Les formules seraient les mêmes, si la roulette était
fixée sur le prolongement de la tige. Si la roulette est sur le
APPELL. Anaivse. *♦*
prolongement de la tige clans le sens AB, Â est supérieur à /. Si elle est sur le prolongement de la tige dans le sens BA, il sufïit de supposer A négatif. Avec ces conventions, la formule (2) s'applique à tous les cas.
426. Aire d'un contour fermé. — Soit une courbe fermée quelconque C dont il s'agit d'évaluer Taire S (fig. 220). Traçons
Fig. 9.-20.
une courbe auxiliaire HIF ne traversant pas l'aire et plaçons la tige AB de telle façon que l'extrémité A glisse le long do H II', tandis que l'extrémité B décrit la courbe C dans le sens de la flèche d'un mouvement continu. Soient A^ et A^ les positions extrêmes du point A sur la courbe IIIF dans ce mouvement, A^ B„ et AjBj les positions correspondantes de la tige. Quand B va de B„ à Bj par l'arc supérieur B„BB,, la somme algébrique des aires élémentaires du, balayées par la tige, est A^ByBBjA^; (juaiul le point B revient de B, en B„ par l'arc inférieur BjB'B^, le point A revient de Aj en A^, et la somme algébrique des aires dt( balayées par la tige est l'aire AjB^B'ByA^j changée de signe. Donc, quand le tour est complet, la somme algébrique j du est égale à l'aire S de la courbe C.
S = Cdu.=:flds -^f(-Lp ^fj\ ,/a.
Comme^ dans ce mouvement, la tige reprend la même direc-
ly I HG!t ATEins Kl l \ I E C li A P II i: s 691
tion qu'au départ aprrs imr suilr (rnscillatiuiis entre deux dii-.M-lions limites, la somme \ >h. des vaiiutions angulaires csl nulle et on a
Soit « le in»ml)i.' (le t<mis et de fractions de toni- ('deetiirs |);ir la roulette, /• son rayon, on a
s = 2izrn , S:=2TJ'ln.
Si on construit l'appareil de façon que 2:w/-/= 1, on a
L'aire cherchée se lit donc directement sur le compteur.
11 est essentiel, pour que cette formule soit exacte, que le point A ne fasse qu'aller et venir le long d'un arc de IIIT et que 1 ilv. soit nul.
Théoriquement, cette courbe HIF est quelconque. Pratiquement on lui donne la forme soit d'un arc de cercle, soit d'un segment de droite.
427. Planimètre d'Amsler. — Dans cet appareil, la courhe IIH' est un arc de cercle (fig. 221 . On oblige le point A à décrire un arc de cercle, au moyen d'une bride OA, rattachant l'extrémité A à un point fixe O ; le point B décrit la courbe C dont on veut évaluer l'aire. Pour que la formule
s'applique, il faut, qu'après un tour p. ^^^
complet de B sur la courbe, le point A
ait décrit deux fois, en sens inverses, le même arc de cercle et que la tige revienne à sa direction première sans avoir fait de tour sur elle-même.
Quand la courbe C est trop grande par rapport aux dimensions de l'appareil, on peut la fractionner. On peut aussi placer le
point fixe 0 dans Fintérieur de C (fig.222), de telle façon que le cercle, lieu du point A, soit dans Taire cherchée, et faire décrire au point B la courbe C. L'aire balayée par la tige AB est alors Taire de la couronne comprise entre le cercle et la courbe. On a
Fi g. 222.
donc en appliquant la formule (2), et, remarquant que, la direction de la tige faisant un tour complet, la différence a^ — (f.^ = 2iz :
==is-^^(l.p — n\2T..
couronne L'aire de C est alors
La quantité
est donnée par le compteur ; la quantité
^^/2 a)27T + 7:OÂ'.
est une constante de Tappareil calculée une fois pour toutes. On a donc Taire immédiatement.
428. Deuxième forme du planimètre. — On a construit également des planimètres ou intégrateurs, dans lesquels la courbe IIÏT est une droite O.r (fig. 223). La tige AB est articulée, par A, à un chariot assujetti à glisser le long d'une rainure rectiligne, le
lyTÉGHA 1 1: i ns ri i\ / /:<; n a r/iES 693
point B parcourt la courbe (1, dont on vrut (i.'iri iniioi' liiii»- S. La roulette R enregistre cette aire d'après la formule précédente
S = ^6- = 2r,rln .
On peut dire que cet appareil donne la valeur de l'intégrale j y^/.r, prise le long de C.
D'autres roulettes fixées sur l'appareil par l'intermédiaire de multiplicateurs d'angles donnent en outre les intégrales
jtfdx, Ji/djc
qui se présentent dans le calcul des centres de gravité et des moments d'inertie.
429. Exercice. — On considère une tige AB qui porte une roulette , comme dans le N^ 424, et on suppose que ses deux extrémités A et B décrivent des courbes fermées d'aires S et S. Démontrer les résultats suivants :
i» Si la tige revient à sa position primitive, sans avoir fait un tour surcllemêmc, on a
S — S = Is, 2° Si elle revient à sa position primitive après avoir fait un tour, on a
3» Si elle fait k tours,
Lorsque 1 extrémité A ne fait qu'aller et venir sur un arc HH' (No 4a6). l'aire S décrite par A est nulle ; les formules donnent alors l'aire S décrite par B.
430. Intégraphes. — Les appareils que nous venons de décrire donnent la valeur numérique d'une aire. Il existe d'autres appareils appelés intégraphes représentant graphiquement la variation de l'aire d'un segment de courbe donnée.
Soit, figure 224, une courbe
COURS D'AyALYSE
coupant 0// en a. Cherchons une autre courbe dont Tordonnée Y vérifie l'équation
L'ordonnée Y de cette nouvelle courbe est donnée par la for mule
Jo
où C est une constante arbitraire.
Soit j; = OP, une valeur attribuée l\x, m le point correspondant de la courbe (1), M le point correspondant de (3),
On a
j/ = ml\ Y = MP.
Y == C -4- aire OamP.
Pour ^ = 0, Y = C; on a ainsi le point A, d'ordonnée arbitraire C; .X croissant, le point M décrit une courbe AM, appelée courbe intégrale. Les intégraphes tracent mécaniquement cette
courbe intégrale, quand un traceur parcourt la courbe donnée (1).
Le principe de ces appareils est le suivant : prenons PE=1, le coefficient angulaire de la droite
l^ /WP , ,1. ^/ X
ïLm est , c est-a-dire yonf (r) .
Dans l'appareil, une tige rigide PP' est assujettie h se déplacer perpendiculairement à O.r : le long de cette tige, glissent librement :
l** un traceur /«, qui décrit la courbe donnée; 2** une roulette M, qui ne peut que rouler et non
glisser sur le papier, et dont le plan perpendiculaire au papier
peut prendre toutes les orientations possibles.
Le traceur m et la roulette sont reliés par un mécanisme tel
que, dans chaque position du traceur, le plan de la roulette a
Fig. 224.
pour Irace sur le piipicr une parallMe 11 ii 11///. Dans r.s ((.iiditions, quand le point ?n décrit ht < <»m he
la l'oulclte roule sur le papier, ensuivant unr courbe, dont la tangente est, à chaque instant, lu trace R de la roulette. Coiuiih- U est
paralli'le à Kw, le coefficient angulaire — — de la tangente à la
courbe, lieu de M, est égal à celui de E//i : on a donc
dx
et le point M décrit une courbe intégrale. On règle Tappai» il (!«• laçon que, pour .r = 0, la roulette soit en A ; on obtient alors la courbe intégrale partant de A.
Nous renverrons pour la description de ces appareils à l'ouvrage intitulé : les Intègraphes, la courbe intégrale et ses appli^ cations, par Abdank-Abakanowics (Gauthier-Villars, 1880} . On a fait également diverses tentatives pour construire des machines, permettant de tracer l'intégrale générale de certaines équations diflerentielles du premier ordre. On trouvera une énuniération détaillée de ces appareils dans une publication faite en Allemagne sous le titre suivant : Katalog niatheniatischer und niathematiscli-physikdlisclicr Modelle, Appavate und Instrumente^ von Walther Dyck, Munchen, Universitaitsbuchdruckerei von Dr. C. Wolf und Sohn, 1892.
