II. - INTÉGRATEURS ET INTËGRAPHES
423. Principe des intégrateurs. — Les intégrateurs sont des appareils qui, par un procédé mécanique, enregistrent Taire d'un contour Terme.
La pièce essentielle des intégrateurs est une tige rectiligne AB, qui se déplace parallèlement au papier portant l'aire à évaluer et sur laquelle est fixée une roulette circulaire R, mobile autour
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tle Taxe (le la lio(.. Quand on clrphice la tige i\\\i\r ini.iiin,- , m, tiniie en appuyant la rnnlotte sur lo papier, celle-ei roule suivant une certaine loi, et un compteur enregistre ]o noinhrf d»* tours et (!<' Irai lions de tour (|u'elle accomplit.
llxainiiions (l*;(I)()rd quel<iues déplacements élémentaires dr hi tige AB //-. 217 .
1° La fi[^c glisse sur elle-même, de AB en A'B' par exemple : Il est évid< ut (jue la roulette ne tourne pas*
2** La /fi^c se déplace parallèlement à elle-même, dr lin on ;i balayer l'aire d'un rectangle AA,B,B : la roulette roule constamnienl de B en R, ; si on appelle s l'arc de la circonlcrence d»* la
Aa:
Fig. 217.
roulette, compté, à partir d'une origine fixe, sur la roulette, jusqu'au point de contact avec le papier, l'accroissement \s de cet arc est égal à RRj, c'est-à-dire ii la lianleuv h du rectangle.
3** La tige se déplace parallèlement à elle-mêmey de façon à balayer l'aire AA^'BB^^ d'un parallélogramme {fig. 217) : l'expérience inontre que la roulette enregistre seulement le déplacement normal à son axe, c'est-à-dire que l'arc A.v de circonférence, qui vient en contact avec le papier, est égal à la hauteur h du parallélogramme. Cet arc est le même que si on amenait la tige de AB à A"B", par une translation de AB en A,B, normalement à AB, suivie d'un glissement de A^B, en A"B".
4" La tiiie tourne autour d'une de ses extrémités k^ par exemple, d'un angle Aa [fig. 217 bis). Dans ce déplacement, la roulette roule constamment sur l'arc de cercle RB', décrit de A comme centre, avec AR comme rayon. On a donc, en appelant ). la distance AH
As = AAa.
6HH (or lis D'A .\ A I. y SE
424. Mesure des aires. — Imprimons maintenaiil à la lij^«' AH Il 11 déplacement continu qui l'amène de A,^B„ en A, H, en laisant décrire a ses deux extrémités les arcs de courbe A,, VA, et B,jBB, ///^>-, 218). Appelons / la longueur AB, Xla distance AR rt aTanolc
Vig. ai 8.
<pi(' lait la lige dans une position (pielcoiupi»' AB a\«'c uik lion fixe O.r. Soit // l'aire A,J3,,BA ; (juand la tij^e siil)it 1( ('(Mucnt iniiniment petit (pii ramène de AB en AB , Tairi^ do <^/// ^=ABB'A'. Si, par A^ on mène une droite A'IV', r parallèle à AB, on peut regarder l'aiie infiniment pc comme égale îi la somme du parallélogramme ABB "A' r hMir // et du secteur B'OV'B^ dont l'angle est (h. :
' (liicc-- (Icpla- // eroif -aie cl lih> t/f/ c lijin-
du = lh
Calculons l'arc ds de roulette, ([ui s'est appuv<' sur le paj)lrr dans le mouvement de AB en AB' : c( l aie est la soiiimr de deux arcs, l'un : //, piovciiant du (l<''j)]aceinent de A H en A B ol
l'autre ).(^/a, provenant du déplacement de AB en AB dcpla ments élémentaires 3" et 4**^. On a donc
ce-
/ .V TK G HA 1 1: 1 II s /; / / A / /; <: H a ni es 689
L'élimination de // entre ces deux relations donne
(1) du^lds-\-{-^t' — ù\
da.
Cette formule est générale, à condition de regarder ds comme positif ou négatif, suivant que la roulette tourne dans un sens ou dans l'au- ,--''^\ tre. Par exemple, la position des tiges --''^^^î inliiiinicnt voisines AB et A'B' peut a^ -''' J^^^^ ' ^'
être celle de la fii^ure 219 où ^a est ^''^c
négatif : du est alors la différence des j.j
aires AEA' — BEB' : son expression se
compose du parallélogramme AA'B"B ou ///, moins le secteur
B A'B', c'est-à-dire Ih -\- -^^V- d'3,^ car di. est négatif; d'autre
part, on a encore ds=^h -\-\d'y.\ on retrouve donc la formule (1\ Pour avoir l'aire totale A^ B^Bj Aj (fig. 218), balayée par la tige, il laut faire la somme algébrique des éléments du, c'est-à-dire^ intégrer le deuxième membre de la formule (1), depuis la position A,^B,j jusqu'à Aj Bj. On a donc, en appelant a- l'arc total de la roulette qui s'est appuyé sur le papier, a^ et a^, les angles des directions A^^B^, et A^Bj avec 0.r :
(2) Aire A,B,B,A, =:= ls-^-{^~l' -Oji^, -^ù-
La ([uantité .s se lit sur le compteur qui enregistre le nombre de tours de la roulette : a^ — a, est l'angle des deux positions extrêmes de la tige.
On voit qu'on ferait disparaître cet angle en prenant A = -:^,mais cela est inutile, car le terme dépendant de l'angle disparait de lui-même quand on mesure l'aire d'un contour fermé, ainsi qu'on le verra plus loin.
