OM
on a
/ - = :v- -\-y^^zr^ rdr = .id.v -\- ydy + zdz,
donc
dS = ±.^r'ds'—r'dr' =^\/ds' — dr^ ,
formule dont les éléments restent invariables quand on développe le cône, car l'arc s de la directrice ne change pas dans le développement, ni la longueur /• de la génératrice OM.
ii4
Cette dernière l'ormule peut d'ailleurs s'écrire immédiatement, car, O'M' = /• étant pris comme base du triangle MOM', la hauteur MU de ce triangle est
V/mm' — Mil',
ou
s/ds'—dr\
li. Aire d'une partie de surface cylindrique. — Soit, dans l'espace, un arc de courbe AB décrit par un point M de coordonnées
Considérons le cylindre projetant cet arc de courbe sur le plan dos .iij en A,Bj. On veut calculer l'aire ABB^A, limitée par
^4?ïî
Al
Fig. r>i
les arcs AB, A,B, et les génératrices extrêmes A A, etBB,. Soient M et M' deux points infiniment voisins de AB correspondant aux valeurs / et f-\-(ll du paramètre. Soient M, et M', leurs projections. L'élément MM' est un élément d'arc ds de AB, l'élément M,M', est un élément d'arc f/.v, de la projection A,B,,
L'aire du rectangle élénienlairr MM'M',M, est
AlIiE D'LWi: SI lllACE C Y LI .\ D RI QU E iiS
La surlacc, qui est la somme de ces rc( l;in^lr.s, est donc
S=j-ds^=j\.>Jd.v'-
(lif- Si on veut introduire la variable /, on aura
s=/'H')v'r(') + ï'MO'^'.
a et h désignant les valeurs de / donnant les points extrêmes A etB.
Cette formule est d'ailleurs évidente, si on développe le cylindre en faisant coïncider AjE, avec une portion de l'axe Or. L'aire devient plane, et on peut lui appliquer tout ce qu'on a vu sur la mesure d'un segment de courbe plane.
