tX

L'application du théorème de Guldin donne donc alors la dilîerence des aires engendrées par les parties de AB placées de part et d'autre de l'axe.

Par exemple, si le centre de gravité de l'arc AB était sur l'axe, on aurait X =0 : les parties de la méridienne placées de part et d'autre de l'axe engendreraient des aires équivalentes.

in. — AIRE DUNE PARTIE DE SURFACE CONIQUE OU CYLINDRIQUE COMPRISE ENTRE DEUX GÉNÉRATRICES

69. Formule générale pour une surface conique. — Soit une surface conique (/.'^'. .")()), dont le sommet est à l'origine O et dont la directrice D est une courbe gauche quelconque, telle que les coordonnées d'un point M de cette courbe s'expriment en fonctions d'un paramètre /par les formules

Considérons la portion S de surface conique limitée par une génératrice fixe 0M„, une génératrice variable OM et l'arc M^M de la directrice I). Celte surface S est évidemment une fonction du

MltE D'ISi: sriiFACE COMOri: lai

paraniMi'(> / dcliiiissant la position du point M. (hiand on fait croître / de dt, le point M se déplace infiniment peu de M en M', les coordonnées de M' sont .v -\- d.v, y -\- dij, z -\- dz, et la surface

Fi g. 5o.

S aun^iiHMite de sa difTérentielle <^/S, égale à l'aire du secteur infiniment petit MOM', qu'on peut confondre avec le triangle MOM' :

dS = MOM'.

On sait que Taire d'un triangle dans l'espace est égale ii la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. Si donc nous appelons <^/Sx, ^/S,,, dS. les projections du triangle MOM' sur les trois plans coordonnés yO'.j -Or. i()//, nous aurons

ds = \/jds7fTW7fTW^'

Evaluons dS.. La projection de la directrice D sur le plan :r(Ji/ est une courbe D', lieu du point P du plan ,rOi/ dont les coordonnées sont données par .r = f (/), y = cp (/). La droite OM se projette en OP. La droite OM' se projette en OP'; le point P ayant pour coordonnées .r -|- d.r, // + ^y- I^c triangle MOM' se projette donc sur le triangle POP' qui a pour surface Ç\^ 41)

dS^ =-^[jrdt/

ydx)

i Cauns D'ANALYSE

On trouve de même, en permutant,

(lSy= —(^ zdx — xdz ) .

On a donc la formule :

,« = —s/[y<lz — zdyf + [zdx — xdzf + [xdy —ijdxf,

OU encore, en remplaçant r, ijy z en fonction de t et d.v, dij, dz l>m-f{l)dl, i{l)dl,'Y{l)dl,

rfs = -^ v/ ('fi' - W +(!/■'-/•}?+(/?'-?/■')' '^'^

En intégrant de /« à /, on aura l'aire conique limitée par les deux génératrices OMq et OM.

KxKMPLE. — l*renons, par exemple, la courbe gauche du troisième ordre définie par les équations

et cherchons Taire de la surface conicjue ayant son sommet à l'origine, ayant cette courbe pour directrice, et limitée par deux génératrices fixes OM^, OM et par la directrice. Actuellement

dx z=z—dty dy z=2tdty dz = 3 t^dt ,

l/dz — zdy = l^di, zdx — xdz = — t^dt,

Donc

xdy — t/dx = -7j- l^dt.

dS = i\/t' + â+l-t^d,i

AIRE D'iy/: <l m \( F ( osiquE ia3

ou, en extrayant la racine,

Intégrant entre t^^ qui donne le point Mq, et /, qui donne le point M, on a

^— TVT-^li :^ TTJ'

ce qu'on peut exprimer comme il suit, à l'aide des coordonnées des deux points M^ et M,

70. Kemahqle. — L'expression de S ne changeant évidemment pas quand on développe le cône, celle de <^/S ne doit pas changer. C'est ce qu'on vérifie en remarquant que les côtés du triangle MOM' {^fig. 50) ne changent pas dans le développement. On peut aussi mettre ce fait en évidence analytiquement, en remarquant que l'on a identiquement

ainsi qu'on le vérifle en développant les deux expressions de dS. Or, si l'on fait