I. Soil à ('(tic nier

Les racines du dénominateur sont deux racines simples réelles 1 et 2. Comme le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, la méthode de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples donnera la fraction considérée

sons loi nif d'une partie entière du premier degré suivie de deux 1j actions simples ayant pour dénominateurs .r — i et :r — 2,

Les coefficients A, B, C, D doivent être (Moisis de façon à rendre le deuxième membre identique au premier. En chassant les dénominateurs, on a l'identité

Identifiant les termes en .v^ et en x\ on a

A=:l, B — 3Arz..O, B=3.

Faisant ensuite .v ^ 1, puis .r = 2, on a

L'intégrale proposée est donc identique à

2(U rOf/.r

APPELL. Analyse.

i3o COURS D'ANALYSE

c'est-à-dire à

^,3,,.21og(.r— l)+91og(.r-2) + C".

H. Soit à calculer :

Actuellement, le dénominateur admet la racine triple .r = 0, et deux racines simples imaginaires conjuguées annulant le trinôme y-î| .r-f-l.

(^omme le numérateur est d'un degré inférieur à celui du dénominateur, il n'y a pas de partie entière dans la formule de décomposition et l'on a une décomposition de la forme

où il reste ii déterminer A, B, C, M et X. Pour cela, chassons les dénominateurs, nous aurons l'identité

Kgalons les coefficients des mêmes puissances de v dans les deux membres, en suivant l'ordre des puissances croissantes : nous avons

A = l, A-hB = 0, A f-B-f-C = 0,

B-hC + N = 0, C-f-M=l.

D'où on tire immédiatement

L'intégrale proposée est donc identique ii

Q U ELQUES MÉ TllOD / s D I \ / /; G R À TIOX 1 3 1

Les deux premières intégrales s'obtiennent immédiatement : elles sont de la forme

/« 4- l où m est égal à — 3, puis à — 2. Reste à calculer

Pour cela, décomposons le trinôme du dénominateur en carrés, l'intégrale devient

et, en faisant, pour un instant,

de façon à ramener le dénominateur à la forme i"-|-l,

En écrivant cette intégrale

(If

r* uU 1 Ç

on voit qu'elle est égale à

-ylog(i^+l) + -^arctang/4-C'% ou, en revenant à la variable a*,

l,„g[|(,.+ 4) V l] +^ arc tnng '^+ G";

,J.j COURS D'ANALYSE

la quantité soumise au signe log peut s'écrire, un peu plus simple ment, -:T-r^*-f-J^-f-ll ; en remplaçant le logarithme du produit par la somme des logarithmes des facteurs et fondant la

constante -7j- log -7j- dans la constante arbitraire, on a enfin

i- log {x' + .r + 1) + -^ arc tang ~y~ + ^" '

En résumé,

/ - + a^^^ .^ J- + 1 !- ^log(.r^4-^-f- 1)