II) -A^ A' A

r — a (x — ay [x — a )*

provenant d'une racine réelle a d'ordre a du dénominateur (A, A\...,A(«~** sont des constantes); puis enfin des termes de la forme

M,-t-t-N. My»H-N. M.r+N.

provenant d'un couple déracines imaginairesconjuguées d'ordre v du dénominateur; fx^-\-j}X-\-fj est un trinôme du deuxième

QUELQUES METHODES D'INTÉGRATION i33

degiM' adinottant Ces deux racines conjuguées; M^, X,, ,M,,Nv,

des constantes.

Pour calculer l'intégrale

il sulTit de calculer les intégrales des expressions (I), (II) et (III) multipliées par dx, La partie entière (I) donne l'intégrale

^o-'^+^'.-j + +«. T-xT + ^'^ ;

les fractions simples (II) provenant d'une racine réelle donnent l'intégrale

A log .V — ^j —

Il reste donc à calculer les termes de l'intégrale provenant des fractions simples telles que (HI). Ces termes se calculent par voie récurrente comme il suit.

M.r-hN somme (III) donne une intégrale de la forme

/M.X -4- Al 7—7- ; — -. dx. — Chacun des termes de la ix'-\-px

J {.r^+px + qf ■ '

OÙ n a des valeurs entières positives, /i = 1, m = 2, ,/i=v.

Pour calculer cette intégrale, décomposons d'abord le trinôme x'-\-j)x -f-// en carrés :

Les racines du trinôme étant imaginaires, q — -7- est positif;

i34 COURS DAy.iLYSE

mais le calcul que nous allons faire pouvant s'appliquer également au cas où les racines seraient réelles, nous ferons

h pouvant être positif ou négatif. L'intégrale s'écrit alors

et, en faisant le changement de variable,

dt,

intégrale qui se partage en deux parties

Comme 2tdt est la différentielle de l'-\-h, la première intégrale est

quand n est différent de 1, et

(juand/i = 1.

Reste à calculer l'intégrale

(j i i: i.ijr i: s .1/ 1: tiiode s ij ' i y r E G n a ti o\ 1 3 5

Nous allons, eu supposant /e supérieur à 1, établir uuc formule 1 «lin rente entre I„ et I„,. Pour cela, partons de

et écrivons cette intégrale sous la forme / itch en posant :

L'intégration par parties donne

1 u(l^> = i(ç — j vduy c'est-à-dire

Dans la dernière intégrale écrivons le numérateur sous la forme

cette intégrale devient I„i — Jl\,^. On a donc

^"-^ = (^^4-/eV»~ + 2 (/« — 1) (I„,— /J„ ), d'où, en résolvant par rapport à I,

(1) 2 [n - 1) /,!„= -^^rpÂp- + (2«-3) I,.., .

Le calcul de I„ est ainsi ramené à celui de I„i.

Cette formule étant établie, pour calculer une intégrale L, où v est un entier positif quelconque, on fera successivement, dans la lormule récurrente (1),

l36 COL' lis D'ANALYSE

et on sera ramené finalement à calculer l'intégrale 1, :

/i Quand // est positif, cette intégrale s'écrit

Quand h est négatif, h = — k'^, on a

Remarque. — Au point de vue pratique, il y aura avantage ii commencer le calcul par I,, I^, etc.. Car le calcul de I2 servira pour celui de I3 ; celui de I3 pour I^ ; et ainsi de suite.

Exemple. — Soit à calculer :

Décomposant le trinôme en carrés, on a

.x.^ + 4.i- + (i=(.r-f-2)' + 2; si on pose alors

.r-f-2 = /, l'intégrale I devient

4 [t'^iy

QL'ELQIES MÉTHODES D'ISTÉGRAnOS l'i'j

en posant, comme plus haut.

\;i ([uanllté /( est égale à 2. Si, dans lu furmule récurrente (II), on lait «=:.'{, puis « = 2, on a

D'où

= / ■> . >■> = ;— arc tauff ■

L'intégrale proposée I a donc pour valeur, à une constante près,

rn^ 7=r arc tanor --r— ,

ou, en revenant à la variable x et réunissant les termes de même dénominateur :

3 1 .rH-2

arc tan g

i38 COURS V ANALYSE