COURBES GAUCHES. — TANGENTE. — PLAN OSCULATEUR
159. Équations définissant la courbe. — Pour définir une courbe gauche par rapport à trois axes rectangulaires O.r, Oi/, 0.z, on peut donner les expressions des coordonnées d'un point M de la courbe en fonction d'un paramètre u :
f, 'fy 6 étant des fonctions continues.
160. Tangente. — Soit M, un point de la courbe, dont les coordonnées .r, y, z correspondent à la valeur h du paramètre, Mp un point voisin, dont les coordonnées :r^, t/j, -, correspondent à la valeur ii -f- // du paramètre :
Les équations de la sécante MM, sont, en désignant par X,Y, Z les coordonnées courantes,
(MM,) X — .r ^^[z=JL = llZ±.
On peut écrire ces équations, en divisant tous les dénominateurs par l'accroissement // de // ;
(MM.) = ^
Quand // tend vers zéro, le point M, se rapproche indéfiniment de M, la sécante MMj devient la tangente M/ en M. Le rap-
.r. — .r f{n-i-h) — f {u) . . , . , dx
-, ou — ^ -, ^ — tend vers la dérivée —z — ou
port
f'{if), de même '^' . '^ et ''
— tendent vers —- et — ; — ou
'f'{ff) et 'i{ft) ; les équations de la tangente sont donc X — ^ Y — ;/ Z — -
du du dz
au (tu
dx du
du
dz du
ou
dx ~
~ ày
- dz '
ou encore
wv?r
161. Cosinus directeurs de la tangente. — Prenons [fig. 79) sur la courbe une origine des arcs 0' et un sens positif des arcs.
^'jg- 79-
Appelons .s l'arc O^M regardé comme positif ou comme négatif, suivant que O' M est dirigé dans le sens positif ou en sens contraire. Menons une demi-droite M/ tangente à la courbe dans le sens dans lequel se déplace le point M quand s augmente. Nous allons calculer les cosinus directeurs de cette demidroite M/. Soit M^ un point de la courbe correspondant à l'arc 0' Mj = .s- -|- A .s-, l'accroissement as étant jwsitif. Le segment MMj compté positivement dans le sens MMp a pour projections sur les trois axes :
yi—y
'2-jo COURS D'ANALYSE
en employant les mêmes notations que dans le numéro précédent. On a donc, en désignant par a, fi, y les cosinus des angles que fait le segment MM^ avec les trois axes,
On en tire, pour a, [3, y, des expressions qu'on peut écrire
\s ' MM, ^~ ^s ' MM, '
As MM,
Quand A.s- tend vers zéro, M, tend vers M, la direction du seg-
As ment MM, tend vers la demi-droite M^, le rapport ,.., d'un arc
a sa corde tend vers 1, et les rapports
ih~y
As '
As
dent vers les dérivées
d:v ds'
dz ds'
Les cosinus directeurs a, [:i, v de la tangente M/ sont donc donnés par les équations
,,, , dj- ,, dii dz
^ ' ds ' ds * ds
Ces équations sont aisées à retenir : elles expriment qu'un clément infiniment petit d'arc ds^ dirigé suivant la tangente M/, a pour projections, sur les axes, dx, dy, dz.
162. Tangente à une courbe gauche définie par deux équations non résolues. — Soient
les équations d'une courbe gauche. Chacune de ces équations envisagée isolément définit une surface, et la courbe est l'intersection de ces surfaces. On peut toujours imaginer que l'on ait
exprimé les coordonnées d'un point de la courbe en fonctions d'un paramètre u :
Si on substituait ces expressions dans les fonctions F et G, le résultat serait identiquement nul, quel que soit u, car les coordonnées d'un point quelconque de la courbe vérifient, par hypothèse, les deux équations (1). On a donc, en différentiant ces deux relations par rapport à u.
OF , OF ^ ôF , ^
