II. - MAXIMUM ET MINIMUM DUNE FONCTION DUNE VARIABLE

156. Règle. — Nous rappelons rapidement la règle qui permet de trouver les maxima et minima d'une fonction

d'une variable .r, pour préparer la méthode que nous emploierons plus loin, au sujet des maxima et minima des fonctions de deux variables.

Supposons que, pour .r = rt, la fonction /"(.r) soit maximum. Cela veut dire que, .x étant très voisin de a, f[.v) est moindre que f{u). Si on fait

.r = rt -f- A ,

Il étant un nombre positif ou négatif qui tend vers zéro, on doit avoir, pour toutes les valeurs de Ji inférieures, en valeur absolue, a une certaine limite,

(Max.) \ /•(« + /')-/•('')<«.

( excepté pour // =().

De même, si, pour x = a^ la fonction est minimum, on a, pour toutes les valeurs positives et négatives de // inférieures, en valeur absolue, à une certaine limite,

(Min.) \ /•("+/')-/•(«} >0, ( excepté pour h ==().

3rAXIMU3I ET MINIMUM DTM-: FONCTION D'UNE VARIABLE 26 î

Nous n'examinerons en détail que le cas simple où, pour de petites valeurs de h, la fonction f[a-\-]i) est développable par la formule de Mac-Laurin.

Développons f[a -\- h) par la formule de Mac-Laurin suivant les puissances de h : nous aurons

Si f [a) n'était pas nul, la parenthèse aurait, pour de petites valeurs de //, le signe de f'-^a), et la différence

le signe de

/.fia).

Cette différence changerait alors de signe avec // et, pour .r = «, la fonction ne serait ni maximum ni minimum.

Donc, pour que la fonction soit maximum ou minimum, pour :r = <7, il faut que l'on ait

Si cette condition est remplie, on a

/■>+/'; -/>: =/'{4-r(«)+xl:3 r:«) + ■•••]•

En général f"(a) ne sera pas nul. Si f"\o) n'est pas nul, la quantité entre parenthèses a, pour de petites valeurs de //, le signe de f"{a), et la différence

le signe de

Le signe de f[a -f- //) — /"(«), pour de petites valeurs de h, est alors indépendant du signe de h et égal au signe de f" {a). Donc si, f [a] étant nul, f" [a) est nà^mtif, la fonction est maximum pour x = a; 5/, f[a) étant nul, f"[a) est positif , la fonction est minimum pour x = a.

157. Cas exceptionnel. — Si on avait f {a) = 0, f"{a) = 0, le développement de f [a -\- h) — f [a] aurait pour premier

iQYme-pr- f"'[ij)' Si àonc f" [a) n'était pas nul aussi, la différence

f[a-\-h) — /'(rt) aurait, pour de petites valeurs de h^ le signe de h^ f"'[a) : elle changerait de signe avec h et la fonction f{x) ne serait ni maximum ni minimum pour x = a. Pour qu'elle soit maximum ou minimum quand /"'(«) = 0, f'\ii) = 0, il faut donc en outre f" (a) = 0. Alors le premier terme de

est

Si/''^^^(a) est différent de zéro, la différence f[a-\-h) — f[a) conserve un signe constant indépendant du signe de //, et égal k celui de/'i'vj(«).

Donc sif'{a), f" {a), f" (a) étant nuls, /^^^^ [a) est négatif, x= a donne un maximum; et si /^^""^(a) est positif, v =: a donne un minimum.

D'une manière générale, pour que la lonction f [.i') soit maximum ou minimum, pour .r = «, il faut et il suffit, dans les hypothèses faites, que la première dérivée qui ne s'annule pas pour a- = a soit d'ordre pair. La fonction est maximum ou minimum suivant que cette dérivée prend, pour .r^=:a, une valeur négative ou positive.

158. Représentation graphique. — Construisons la courbe y =f{j:). Admettre qu'au voisinage du point A, .r = a, y =f[a)^

la fonction f [.r) est développable par la formule de Taylor, c'est admettre, en particulier, ([u'au point A il existe une tangente à la courbe non parallèle à Oy, car f [a) est fini.

Pour que l'ordonnée u = f U) soit maxil'ig. 78. * . .

muni pour ^ = fl, il faut alors évidemment

que la tangente en A soit horizontale, f'(a) = 0, et que la

courbe, au point A, tourne sa concavité vers les // négatifs, c'est-

MAAIMiM ET MIMMLM DISK FOyCTION D'UyE VARIABLE 267

ii-clire (juc la dérivée seconde fia) soit nci^^ilive si elle n'est pas nulle. On retrouve bien ainsi les conditions analytiques du maximum.

On retrouverait de même celles du minimum.

Remarque. — La représentation graphique permettra de trouver tous les maxima et minima de la fonction, même ceux qui ne rentrent pas dans l'hypothèse simple que nous avons laite en admettant que, dans le voisinage du maximum ou du minimum, la fonction est développable par la formule de Mac-Laurin.

En effet, on verra immédiatement sur un tracé graphique quelles sont les ordonnées plus grandes ou plus petites que les ordonnées voisines.

Par exemple, dansla courbe auxtangentes égales (N^ 155, fig. 11^, 1 ordonnée du point de rebroussement A est un maximum. En

ce point, la dérivée —j— est infime, car la tangente est verticale.