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•i-'i COURS D'ANALYSE

car, dans ce cas, les équations (2) se réduiraient à une seule et les dénominateurs des relations (3) seraient tous nuls. Les deux surfaces (1) qui, par leur intersection, donnent la courbe seraient alors tangentes au point considéré.

Un point de ce genre s'appelle un point sinij^idier de la courbe gauche. C'est en général un point où se croisent plusieurs branches de la courbe.

Nous reviendrons sur cette question dans la théorie de l'indicatrice.

163. Différentielle de la longueur d'un segment de droite. — Soit un segment de droite A B dont les extrémités A et B ont pour coordonnées .r, y, .z et .1^, ?/,, z^. Sup- ^^' posons que ces coordonnées soient fonctions d'un paramètre u, de telle façon que les extrémités A et B décrivent deux courbes, quand u varie. Lorsqu'on fait varier infiniment peu it, les points A et B subissent des déplacements infiniment petits AA' et BB' ayant pour projections d.r, (hj, dz et dx^, dy^, dz^. La longueur / du segment :

a pour diderentielle

Nous écrirons cette expression

di (-^1 — ^) ^^ + (//i — //) <y + ('i — -) ^^

(.r — .rj d.r^ + (// — //.) dy^ -f- [z — .z^) dz^

Le segment AA' de projections dj-y dy^ dz l'ait avec les axes

11, . d.r du dz , , ,.

des angles ayant pour cosinus —7— , ■—- , -7— , c est-a-dire

ds d,s ds

d.v dy dz

AA'' lùr' ~ÂK^'

TAXGEyJE

Le segment AH, j)ris dans le sens AB, (ait avec les axes des angles ayant ponr cosinns

On a donc, en prenant le cosinus de l'angle de ces deux directions,

cos iVAB = -"' ~ ''' '^''^ '^- -!/)^I/^(^- ^ ^^

XX'. l

On trouve, de même.

COSDKA— ^^, ^

La formule donnant dl peut alors s'écrire

^// = — A A', cos .VAB — BB'. cos B'BA.

Applications de cette formule. — i** Supposons, par exemple, ([ue la droite AB se déplace de telle façon qu'elle reste constamment normale aux courbes décrites par les points A et B. On

a, alors, cos A'AB = 0, cos B'BA =. 0,

dl=0, l=C\

La droite a donc une longfueur constante.

2** Réciproquement, imaginons un segment AB de longueur constante / qui se déplace en restant normal à la courbe lieu du point A. Le point B décrit alors une courbe à laquelle la droite AB est aussi normale.

En effet, dans la formule générale on a. actuellement.

(U =0, cos A'AB ^= 0. Elle donne donc

cosam^o,

ce qui démontre que AB est normale au lieu du point B.

3" Supposons, enfin, (jue la droite AB change de longueur et de position de telle façon qu'elle soit constamment normale au lieu C du point A et tangente au lieu C, du point B [fi^. HL .

APPELL. Anulvse. i8

Dans ces conditions ,

cosiVAB = 0,

cosB'BA=l,

car l'angle de BB' (tangente en B) avec BA est nul. La loi mule devient alors