BB

Mais, si nous prenons une origine O^ des arcs sur la courbe C,, en Taisant 0^ B =flp on a

BB'=./.s-,, donc

dl = — ds^,

k désignant une constante. La somme

arc Ô^-}- droite BÂ

est donc constante. L'on peut tracer mécaniquement la courbe C

de la façon suivante. Prenons un fil inextensible de longueur k. Attachonsle en 0, ; enroulons-le partiellement sur la courbe jusqu'en B, puis, tendons-le jus({u'en A. Si, ensuite, nous tenons le point A à la main en enroulant ou déroulant ce fil sur la courbe C, et le maintenant tendu, le point A décrit la courbe C. Nous reviendrons plus loin sur cette propriété à propos des développées et des développantes.

Fig. 8

PLAN OSCULATEUR

164. Piaj2 osculateur. — On démontre, pour les courbes gauches comme })our les courbes planes, que, de toutes les droites passant par un point M de la courbe, la tangente est celle (jui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage du point M. On est naturellement conduit ii chercher, de même.

PLAN OSCULATEUR

quel est, parmi tous les plans passant par un point M d'une courbe gaucho, celui <[ui se rapproche le plus Je la courbe clans le

Fig. 82.

voisinage du point M. On est ainsi amené à la notion du plan osculateur que nous définirons comme il suit :

Définition. — Soient M un point de la courbe, M^ un point voisin, M/ et M,/j les tangentes en ces deux points. Le plan osculateur en M est la limite vers laquelle tend un plan passant par M/ et parallèle à M^ /^ quand M^ tend vers M.

Si par M on mène une parallèle Mi' à M^ /j, on peut dire que le plan osculateur est la limite du plan t^W .

On peut voir géométriquement que le plan ainsi défini existe. En effet, par un point fixe O menons des parallèles OA aux différentes tangentes Mi de la courbe : ces parallèles forment un cône qu'on appelle le cône directeur des tangentes. Soit OA^ la génératrice de ce cône parallèle à M^ i^, le plan /Mi' mené par Mi parallèlement à M^ i, est parallèle au plan AGA^ et, quand M, tend vers M, OA^ tend vers OA et le plan AOA^ tend vers le plan tangent au cône directeur des tangentes le long de OA. Le plan iMi' tend donc vers une position limite parallèle au plan tangent au cône directeur des tangentes le long de la génératrice OA parallèle à Mi; cette position limite est le plan osculateur en M. .

Équation du plan osculateur. — Formons d'abord l'équation du plan iMi'. Soient

les coordonnées du point M,

2^6 COURS D'A y A LYS E

celles du point Mi- Les cosinus directeurs de la tangente en M sont proportionnels à

fi"), ?'(")> '}''(");

ceux de la tangente en M^ sont proportionnels à

Le plan tSlt!, passant par M, a une équation de la forme

Ce plan devant contenir M/ et la parallèle ^It' à M^/^, on a, pour déterminer A, B, C, les deux conditions

^' [ Af («-{-/') +B'y(.^+ A) + C'y(/^+/0 = 0.

Si l'on développe /*' (m + A), o'{u-{-h)^ 6' [n-{-h) par la formule de Taylor, la deuxième relation s'écrit

(2) A/-' („) + B-f' in) + C'}' {„) + /, [A/-" («; + Bf («) + Ci" («)] + -^ [•¥'"(«)+ ]=o-

D'après la première des conditions (1), le premier terme de cette relation (2) est nul, et on peut l'écrire, en divisant par // ,

Af" («) + Bf («) + Cf («) + A [A/'" („) + ] = 0.

Si, maintenant, on fait tendre h vers zéro, le plan AI/' tend vers le plan osculateur et les deux relations déterminant A, B, C deviennent

A/''(/0-f-Bcp'(//) + oy(//) = o,

Af {h) 4- Bf (//.) + C'V' {n) = 0.

On en tire

L'équation du plan osculateur en M est donc

PLAX OSCULATEUR i-j'^

Comme on a, // étant la variable indépendante,

ilv = f [n] du, (Iji = '^' [il) du y dz = 'Y (w) du,

d\v ^f"dii\ d'^ij = fdu\ d-z = ydu\

on peut aussi écrire cette équation

idyd-z-^ dzdhj) (X — JL'] + [d.zd\v — dxd-.z^ -Y — y) + [d.vd-y — dyd-x) (Z — - -; =0.

165. Théorème I. Le plan oscillateur eu un point M est la limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente ^U en ce point et par un point M^ infiniment voisin de M. — En effet, un plan quelconque passant par le point M a pour équation

A(x— jr) + B(Y — ^) + c ;z— -; = o.

Ce plan contenant la tangente M/, on a

(3) \f' u + Bcp^ u + Ol' u] = 0.

Exprimons que ce plan contient le point Mj de coordonnées .rj, //j, -j, il vient

A ;.r, — .r] ^B'y, — y+C >, — z] = 0 ou encore, comme .v=f{^u^j a\=fu-{-iï,...

A [fu + h) ~f:u]] + B [^ (/. + y/; — :p {u]] -^C['i^[u-i-/r—'H"]] = ^'

Développons f[u-\-h),'^(u-\-h)y'l{u-\-/t:, par la formule de Taylor, nous pourrons écrire la dernière condition

/, [A/- ,jr + 13-f ,», + C|' ;»; ] + -^ [A/- :«,+B=" («)-(-Cf' («)]

Le premier terme de cette relation est nul en vertu de (3) ; supprimant alors le facteur -^ , on peut écrire

A f" [if-^ 4- Bf [u] 4- Cr y; + 4" f'^^' ' ' "' + ^^^'

Quand // tend vers zéro, cette relation donne l'équation

qui, jointe à (3), détermine des quantités proportionnelles h A,B,C.

On retrouve ainsi les conditions qui définissent le plan osculateur, et le théorème est démontré.

166. Théorème II. Le plan oscillateur en un point M d'une courbe est la limite d'un plan passant par M et par deux points infiniment çoisins M^ et M^. — Soient :

les coordonnées du point M^,

celles du point M^. L'équation d'un plan passant par le point M de coordonnées .r, y, r,

est

En exprimant que ce plan passe par les deux points M^ et M^, on a, pour déterminer A, B, C, deux conditions qu'on peut écrire

A [f[n + h] - /•(«)] + B [cp (« + h) - ç (h);

En développant par la formule de Taylor suivant les puissances de h et /i, on peut diviser la première condition par //, la deuxième par k, et on a

(■'») V (") + B?' («; + C'V («- + A [Kf („) + B=" {,,) 4- O'i" («)]

T7ïjIM""k")+ ]+ =«,

Pr.AX OSCUf.ATElR 279

+Tj^LAr';";+ ]+ =«•

En retranchant ces deux développements membre à membre, on obtient une équation de condition dont tous les termes sont divisibles par // — k et qui s'écrit :

T.; A/-"(«)+Bf.;« +€■}'':»; +-^:^ [A/ '\«,+ ]+ =o,

les termes non écrits contenant tous h ou k en facteur. Si, maintenant, on fait tendre // et k vers zéro, les relations (5) et (6) deviennent

A/"(„;+B-/(«)+Ct"(«)=0.

Ce sont les relations qui déterminent les coefficients A, B, C de l'équation du plan osculateur. Le théorème est donc démontré.

167. Ordre de contact du plan osculateur avec la courbe, — On peut dire, d'après le théorème précédent, que le plan osculateur en M coupe la courbe en trois points confondus en M. En appliquant la même locution que pour le contact de deux courbes planes (n*^ 150), on peut dire que le plan osculateur a, avec la courbe, en M, un contact du deuxième ordre.

Cette façon d'envisager le plan osculateur permet de retrouver immédiatement son équation par une méthode analogue à celle que nous avons suivie (n'' 149) pour la tangente à une courbe plane. En effet, considérons un plan quelconque