l'.xi

li'oites avant pour équations

engendrent une surface défeloppalde . En effet, en dérivant ces deux équations par rapport à '/., on obtient deux équations qui donnent pouv r la tni'ine valeur

Portant cette valeur de : dans les deux équations de la droite, on a, pour les coordonnées d'un point de l'enveloppe, c'cst-ii-dire de Varéte de rehroussement,

ENVEI.OI'PE D'UyE FAMILLE DE COVRBF.S DA.\S L'ESPACE 33j

Cette coui-be est une courbe gnuclie du troisième ordre ou cubique gauche.

On pourra vérifier aisément, comme exercice, que le pliui tangent il la surfitee tiéveloppable le long d'une des génératrices est le plan osculateur de la courbe (E) (Voyez exercice n" 210).

206. Cônes et cylindres. — Les exemples les plus simples de surfaces développables sont les cô/tes et les ci/Undres. Il est aisé de vérifier que, pour ces surfaces, la condition générale dûiUi — dbdh = 0 est remplie. Prenons d'abord un cône et supposons qu'on ait choisi pour origine le sommet du cône. Les génératrices du cône ont idors pour équations

a et b étant fonctions de /.. Comme // et k sont idenLiquement nuls, la condition est satisfaite. Les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussement sont données par

- = 0, .r = 0, ir=0.

(^ette coui'lic se réduit à un jjoiiit, le sommet du cône.

Prenons maintenant un cylindre et choisissons l'axe O: parullcîe aux génératrices. Ces droites auront pour équations

Il et k étant (onctions d'un paramèti'c À. La condition est encore remplie, car a ei h sont identiquement nuls. En considérant le cylindre comme la limite d'un cône dont le sommet s'est éloigné indéfiniment sur 0.;, on peut dire que Tarète de rebroussement est un point il l'infini sur 0;.

207 . Le plan tangent à une surface développabJe coïncide avec le plan oscalatear à l'arête de rebroussement. — Soit SI un point de l'arête de rebroussement,

les expressions des coordonnées da point M en lonction d'un paramètre ii.

COUIiS D'ANALYSE

Quand le point M décrit l'arête de rebroussement, la titngciite !\l/ ii-face développable : nous allons montrer que le plan urface développable^en un point quelconque M, de la génératrice Mi, est le même, quelle que soit la position du point M,, et coïncide avec le plan oscillateur en M à l'arête de rebroussement. Pour déterminer le plan tangent en un point d'une siirrace, il suflit de connaître les tangentes à deux courbes passant par ce point sur la surface. Par le point M, de la surface développable, passe d'abord la génératrice M, M ; le plan tangent en M, contient donc cette génératrice. Soit ensuite C, une deuxième courbe passant par M^ sur la surface : quand le point M, décrit cette courbe, la longueur MM, de la tangente à l'arête de rebroussement varie en fonction du paramètre u qui fixe la position du point M. Les équations de la tangente MM, sont

ri")

) étant sur cette droite, ou

ces rapports.

= 3 (»), z = -^[u),oji a donc, pour

en appelant p la valeur Comme x^f'yu), y = données du point M^

Dans ces expressions, f doit être regardé comme une fonction de 11, de telle façon que, quand it varie, le point M, décrit la courbe C,. Cela posé, le plan tangent à la surface développable en M| contient la génératrice MM,. Il passe donc par le point M et son équation est de la forme

ENYELpPPE DE SURFACES A f.V PARAMÈTHE 33;

0)1 écrivant qu'il contient la droite MMj, tangente à l'arête de rebroussenient, on a

(13) \f'{ii) + B-/;») + Oh'{u) = 0.

11 faut écrire qii'il contient aussi la tangente M,(j à la courbe C,. Or, d'après les expressions des coordonnées du point M,, les cosinus directeurs de celte tangente M,/, sont proportionnels aux diiférentielles ih\, di/^, rf;,.

dj;,=f{u) [rf„ + ^p] + j)/"(,() du,

dz, = ■h'iu) [da + rfp] + ù'y'[u) du. On doit avoir

Remplaçant d.i\, dij^, d.z^ par leurs valeurs, et tenant compte de la condition (13), on voit que le coelllcient de (^dii -\~ dp) disparaît et il reste la condition

(■Kl) Af'y]^Bfy.^ci"y]=Q.

Les conditions (13) et (14) déterminent les coeflîcients A, B, G du plan tangent (12). Mais ce sont précisément les équations déterminant le plan osculateur, en M, a l'aréte 4e rebroussement. Le théorème est donc démontré.

m. - ENVELOPPE I

208. Équation de l'enveloppe. CRvactéristiques, Arête de rebroussement. — Soit

l'équation d'une surl'ace S contenant un paramètre variable /,. On peut se proposer de chercher une surface E à laquelle chacune des surfaces S soit tangente tout le long d'une courbe G.

Cette surface K, quand elle existe, est Yeiweloppe des sur-

3^8 COURS D'ANALVSE

l'iices S ; les sui'l'aces S sont les enveloppées et l;i courbe G, suivant laquelle chaque surface S touche l'enveloppe E, est la caractéristique de la surface S.

Ou démontre, par une méthode analogue à celle que nous avons suivie pour l'enveloppe d'une famille de coui'lies dans un plan, les théorèmes suivants.

Si les surfaces S ont une enveloppe E, la courbe caractéristique, suivant laquelle chaque surface S Louche son enveloppe, est définie par les deux équations

L'enveloppe est le lieu géométrique de ces courbes : on obtient son équation en éliminant "k entre les deux équations (G).

Dans tous les vas, l'équation résultant de celte élimination représente, ou l'enveloppe des su/-faces S, on te lien de leurs points singuliers.

La caractéristique G, suivant laquelle une surface S touche l'enveloppe, est la limite de la courbe d'intersection de la surface S avec la surface infiniment voisine, obtenue en faisant varier infiniment peu le paramètre \.

!Nous nous contentons d'énoncer ces théorèmes; mais il est important de faire la remarque suivante :

Quand le paramètre ). varie, les courbes caractéristiques G ont une enveloppe A ; cette enveloppe s'appelle l'arête de rebroussement de la surface enveloppe.

Les caractéristiques sont des courbes de t'espace définies par les deux équations simultanées :

Pour montrer qu'elles ont une enveloppe, il faut montrer que le système de quatre équations obtenu en associant aux deux précédentes les équations dérivées par rapport ii X :

se réduit à trois.

■NVKLOPPË DE SURFACES A

suivantes

;]a est évident, car ces équations se rédi

liAMÈTRE :î39

Ces éqnatioiis détûrniincnt ,r, varie, le point ainsi déterii)iiié i tiques, c'est-à-dire l'arête de :

enveloppe. II peut arriver que les tions (A) soient iinagmaircs : V pas dans ce cas.

209. Exemple. Enveloppe d'un plan mobile à i, surfaces développabîes. — Soit

?/, ::■ eu louction de À. Lorsque ), lécrit l'enveloppe des caractéris- ■ebronssement A de la surface valeurs dsx,t/,z tirées des équaii'ète de rebrousse m eut n'existe

A^ + By + C.; + D=0,

l'équation d'un plan mobile, dont les coefficients A, B, t'., D sont fonctions d'un paramètre ),. Chercbons l'enveloppe de ce plan. D'abord, pour avoir la caractéristique suivant laquelle le plan touche son enveloppe, il faut joindre, à l'équation du plan, l'équation dérivée par rapport à }. :

-BV

-c':+iy=

A', B', C, D' désignant les dérivées des coefficients par rapport il 5,.

La caractéristique est doue une droite. L'enveloppe est le lieu de ces caractéristiques; c'est donc une surface réglée. Cette surface est développable, car, le plan mobile touchant son enveloppe tout le long de la caractéristique, le plan tangent à la surface réglée est le même tout le long de la génératrice. Enfin les caractéristiques (génératrices rectilignes de la surlace) ont une enveloppe A, dont les points sont définis par les trois équations

lulcs des

34o COURS D'ANALYSE

tlésignéus par deux accents. Ces équations (Ifitei'miiK'iil x, y, z en l'onction de ')., et, quanti À varie, le point ainsi défini décrit l'enveloppe des génératrices de lu surface développablo, c'est-àdire l'arête de rebroussement de la surface.

Nous avons vu que le plan tangent ii une surface développable est le plan osculateur à l'arête de rebroussement de la surfiice ; actuellement, le plan donné

est donc le phiii oscubiteur à l'aréte de rebroussement définie par les trois relations (A).

En résumé, on voit qu'un plan mobile, ii un paramètic, enveloppe une surface développable, et que ce plan est osculateur il l'arête de rebroussement de la surface.

Réciproquement, toute surface développable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile à un paramètre : en effet, elle est l'enveloppe de son plan tangent, c'est-ii-dire du plan osculateur à son arête de rebroussement.

On peut également présenter ce résultat en disant que l'enveloppe du plan osculateur d'une courbe gauche est la surface développable engendrée par les tangentes à cette courbe : la caractéristique du plan osculateur à une courbe (intersection d'un plan osculateur avec un plan osculateur infiniment voisin^ est donc la tangente il la courbe.

On se rapc>ellera ce fait par le procédé mnémonique suivant :

le plan osculateur en M a une courbe

gauche est le plan du point M et de deux

points infiniment voisins Mj et M' ; le

plan osculateur en M' est le plan du

i'ig. loS. point j\f et de deux points infiniment

voisins M et M". L'intersection de ces

deux plans est la corde MM' joignant deux points infiniment

voisins, c'est-ii-dire la tangente à la courbe eu M.

210. Esemple de l'enveloppe d'un plan à un paramétre. — Soit il trouver l'enveloppe du plan

ENVELOPPE DE SURFACES A £7.V PARAMÈTRE îsii

La caractéristique s'obtient, en associant ii cette équation l'équation (îcvivée

Pour avoii' 1 ejiveloppe, il faudrait éliminer À entre ces équations (4) et (5). On aurait ainsi une surface développable.

L'arête de rebroussenient Ade la surface s'obtient, en associant aux équations (4) et (5) la nouvelle équation dérivée

Les trois équations (4), (5) et (G) donnent les coordonnées d'un point de l'arête de rebroussenient; en les résolvant, on a :

Le plan mobile est alors le plan osculateur à cette courbe : c'est ce qu'on vérifiera en se reportant au calcul du n" 17.^.

La caractérisliqne définie par les équations (^i) et J5) esl, la tangente à la courbe A.

2H. AuTiiE liSEMPLE. Enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée. — Soient il, //, c, les coordonnées du centre M de la sphcre : ce point décrivant une courbe donnée r, ses coordonnées sont lonctions d'un

T) «=/■;«;, s = îW, « = *{")■

L'équation de la sphère mobile est donc

Pour avoir la courbe caractéristique suivant laquelle cette sphère touche son enveloppe, il faut associer ii cette équation l'équation dérivée par rapport au paramètre n

(10) [j.-;fi;„;]/';«;+l>/--f{":iî' ("; + [=-*(")]■>' ("! = «•

Si l'on regarde x, i/, z comme des coordonnées courantes, cette

34i COURS D'A.'VÂLrSE

équation représente un plan passant par le point M (a, h, c) de la courbe Y et perpendiculaire à la tangente M; à cette courbe, car les cosinus directeurs de cette tangente sont proportionnels ix f'i^it), ^'{n), '^' [u]

[fis. m).

La caractéristique de la sphère S est donc à l'intersection de cette sphère avec le plan normal à la courbe Y, au point M, centre de la splière : on peut dire que cette caractéristique est le cercle obtenu en portant sur les normales à la courbe Y, au point M, des longueurs constantes égales à R. L'enveloppe est le lieu de ces caractéristiques, c'est-à-dire le lieu obtenu eu portant sur toutes les normales à la courbe Y des longueurs constantes égales ii R: ces normales sont aussi les normales à la surface enveloppe.

La surface enveloppe ainsi obtenue est une surface canal. Par exemple, si la ligne Y est une ligne droite, la surface canal devient un cylindre de révolution autour de cette droite : les caractéristiques sont les parallèles du cylindre.

Dans le cas général, les caractéristiques ont une enveloppe arête de rehrousseinent de la surface canal; mais cette enveloppe peut être imaginaire, quand R est siiflisauiment pclit.