II - ENVELOPPE DUNE FAMILLE DE COURBES DANS L'ESPACE

202. Condition pour qu'il existe une enveloppe. Equation de l'enveloppe. — Soit, dans l'espace, «ne couvbe définie par deux équiitions simultanées:

dépendiint d'un pavamètre X. Quand on fait varier X d'une manière continue, la courbe G se déplace d'une manière continue; on peut alors se demander si les diverses positions de la courbe C ont une enveloppe, c'est-à-dire s'il existe une courbe E à laquelle les courbes C soient toutes tangentes. Nous allons voir que cette enveloppe n'existe pas, en général; pour qu'elle existe, il faut qu'une certaine condition soit remplie.

Supposons que l'enveloppe E existe. Soit M {x, y, ;) un point de contact d'une courbe C avec l'enveloppe. Les coordonnées d'un point quelconque de C sont des fonctions d'un paramètre w vérifiant identiquement les deux équations (C), où ). a une valeur constante donnée. Quand it varie, les fonctions f[x, y, ;, ).) et •s (.r, y, z, A; restent nulles, leurs différentielles sont donc nulles, et on a

Os équations définissent les projections dx, dy, d: d'uu élément d'arc infiniment petit MM' de la courbe C {/Ig. 104) ; elles donnent

pour les rapports -j=- , y-- un système de valeurs bien déterminées,

tant que Ton n'a pas

e>.r ùy 0-

yGoosle

EXVELOPPE B'VSe FAMILLE DE COURBES DANS L'ESPACE lïg

Si ces dernières coiiditions étaient remplies, les équations (1) se réduiraient à une seule, le point correspondant .v, y,z serait ce que l'on appelle un point singidier de la courbe C, Nous supposerons que le point M n'est pas un point singulier, les rapports -j^ et -7^ sont alors détej'uiinés et les équations de la tangente en M à la courbe C sont

X~.T Y — !/ L—rf.r '- d,j ~ <h

Cherchons, maintenant, les projections ci,.);, rf,i/,(/,: d'nn élénientd'arc infiniment petit MM, de l'enveloppe E. Le long de l'enveloppe, les coordonnées .r, y, z d'un point de E sont lonctions deX, car, pour chaque valeur de)., il existe, sur l'enveloppe, nn point de contact avec l'enveloppée C correspondante; soient

Ces lonctions de /. vérifient identiquement les deux éqiuitions

Les premiers membres de ces équations restant nuls quand /. varie, leurs différentielles sont nulles. On a donc, en désignant comme plus haut, par diX, d^y, d^z, les différentielles de .v,y,z regardées comme fonctions de ).,

W Tv7".«-+-3^''.JH

■/,r+-y--fl,.,0,

Les pi'ojections de l'éléineiUd'arc iiirmiinent petit MM, vérifient ces deux relations. La tangente en M il l'enveloppe E a pour

rf,.r ^ </,!/ ■" i(,: ■

COURS D'ANALYSE

Pour i[ue cette tiuigente soit la même que lu tangente it la courbe C, il faut et il suffit que l'on ait

'■{- lirL — ^'^/ =-^=/-

en appelant /.■ la valevu' oommuiie ilcs rapports. De tes équations (3) ou tire d,.i', (/,//, if, z et, en pcu'laut dans (2;. on a

Mais, d'après les relations (1), ces équations se réduisent à

Donc, si les courbes C ont une enveloppe, les cooixloiiuées .r, y, z d'un point de cette enveloppe regardées comme fonctions de >., doivent vérifier les quatre équations simultanées

\ iV, ù/.

Il faut, par suite, que les valeurs de :f, y, z, en fonction de À, tirées de trois de ces équations, vérifient identiquement la quatrième, quel que soit ),.

Si cette condition n'est pas remplie, l'enveloppe n'existe jias.

Si elle est remplie, soient

les valeurs de x, }/, z, en fonction de À, tirées de ces équations (4; . La courbe définie par les relations [5) est, ou bien l'enveloppe des courbes C, ou le lieu des points singuliers de ces courbes. En effet, appelons d^x, d^y, d^z lea différentielles des fonctions a:, y, z de î. définies par les relations J5) ; ces fonctions rendent identiquement nulles les expressions f[;T,y,-z, ).) et ^ {.ï, y, z, î.) ; elles

EyVEJ-OPPE D'USE FAMILLE DE COURBES DASS L'ESPACE 3îi

rendent donc nulles leurs différentielles et on a les deux équatioii;

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-rr^, rr-^, -r-i- , c est-ii-dive SI ce point ,r, ii.z- considère n est

pas un point singulier (le la conrije C. Comme ces relations (6 sont identiques aux relations (1) qui définissent les rapports -j7, -t^ pour la courbe C, on voit que la courbe (5) est tangente il la courbe C, à condition que le point ,r, y, z défini par les relations (5) ne soit pas un point singulier de C.

203- Exemple, — L'n cas simple où les équations (5) se réduisent il trois est le suivant. Supposons qu'une des équations des courbes mobiles ne contienne pas )., par exemple la première. Ces deux équations sont alors

les courbes mobiles s'obtiennent en coupant une surl'ace fixe f\x, 7j,z) = 0, par une surface mobile 'f {■':,>/, 3, ).)^0, dépendant d'un paramètre. Comme actuellement -J- est identiquement nulle, les équations (4) se réduisent i» trois

îîî COURS D'A.WILYSE

0\\ pourra, en général, t'irev, de ces équations, .f, //, '■ en l'otic-

lii courbe ainsi définie, si elle est réelle, sera ou bien l'enveloppe des conrbes considérées ou le lien de leurs points singuliers.

Prenons, par exemple, un hyperboloïde ii une nappe de révo Intion autour de Or

■ 8; '" + '^' ■ Jl „i^o,

et, sur cet hyperboloïde, les courbes C defiiiies piii' rijitersectioii de lit surface avec les plans verticaux

,;i)^ ,jcos/, + »/sin). — R-— 0,

ail \\ est constant et oii '/. est un paramèlcc variable. Ces plans, étant à une distance constante R de l'origine, sont les plans tangents Èi un cylindre de révolution de rayon R ayant 0; pour axe. Pour avoir un point de l'enveloppe de ces courbes C, il faut

joindre, aux deux équations (8) et (9), la suivante

i 10, — .r sin ). + (/ cos ). = 0,

obtenue en dérivant (9) par rapport à À. Résolvant les équations (8), (y) et (10) par rapport a .r, y, z, on a Immédiatement

;i:; .r ^- R cos >,, y = R sln>,, s = rh — V^IV — a\

relations qui définissent un point de l'enveloppe. Pour que z soit réel, il faut R^a. Quand R est supérieur à a, l'enveloppe se compose de deux parallèles de l'hyperboloïde, ce qui est évident géométriquement. Quand R = r7., les équations (K) donnent le cercle de gorge, qui n'est plus une véritable enveloppe des courbes C, mais le lieu de leurs points singuliers. En efl'et, dans ce cas, les plans (9) sont les plans tangents îi l'hyperboloïde le long du cercle de gorge; ils coupent l'hyperboloïde suivant des courbes C formées de deux génératrices se coupant sur le cercle de gorge; ce dernier est alors, non l'enveloppe des courbes C, mais le lieu de leurs points doubles.

EWEf.ai'PI-: DT.XE rAMIl.LE DE COCRflES DA-VS L'ESPACE j'Sl

204- Application à une droite mobile dépendant d'un paramètre. Surfaces gauches. Surfaces dèveloppables. ^rêts de rebroussement. — ■ Nous avons déjà donné la classification des surlaces réglées en surfaces gauches et surfaces dés'eloppahles. Nous allons retrouver ici cette classification comme applicatîoi) de la théorie des enveloppes dans l'espace.

Soll ujie droite mobile ayant pour équations

où a, b, h et k sont des fonctions d'un paramètre À. Quand le paramètre varie, la droite se déplace et engendre une surface réglée.

Deux cas sont à distingue!' suivant que cette droite a ou non une enveloppe.

Condition pour que la droite ait une enveloppe. Surfaces déve-

loppables. — Cherchons la condition pour que les droites (D) aient une enveloppe. D'après la règle générale, nous devons associer aux équations (D), les équations obtenues en dérivant par rapport a X, c'est-it-dire les équations

Les quatre équations ainsi obtenues doivent Être compatiljles en .r, ^, :. Les deux dernières donnent, pour ;, deux valeurs

__dh elk

si ces valeurs ne sont pas identiques entre elles, les droites n'ont pas d'enveloppe.

Pour qu'il y ait une enveloppe, il faut et il suflit que les denx valeurs de z soient identiques, c'est-ii-dire que l'on ait

da'lk—dbdli = 0, ou, en se reportant au n" 189, que les dioiles foiioent une sur-

conas DA.YAF.ysi;

f,u'e dà'ehj>imli(e. Dans ce t l'onveloppe sont définios par

___rf* dl^

„fi„'.

Cette enveloppe s'iippelli' Wirèle ilo rehroiiKKemeiil de In âéveloppahte.

Nous l'etronvons donc, sous un iiouveuii point de vue, la classificatiim des surfaces l'églées que nous avons déduite de la théoiif da plan tangent.

Çiifinclles droites mohiles (D) n'ont pas (F enveloppe, elles engenih-enl une suifaee gauche.

Quand elles ont une enveloppe, elles engendrent une sui-faee développable. L'eni'eloppe est l'arête de rehroussement de la nurfaee.

On a ainsi un mode de génération simple des surfaces développables :

Soit une courbe quelconque; len tangentes à celte courue forment une sur faee dépeloppalile dont la courbe est l' arête de rebroiissemettl .

Nous savons que le plan tangent à une surface développable est le même tout le long d'une génératrice, comme dans un cône et dans un cylindre. Nous verrons plus loin que ce plan tangent est le plan osculatenr ii l'arête do rebroussement, au poini iiii la jfénératrice touclie celte arête.