Kkiîwple I, — Cherchons l'eiiveloppo lIli [ilun

Le point de <;<inta<;L lIu plan avoc l'onveluppe s'oblicnL, en associant à cotte équation les deuy éi[u;Uiijns dérivées par rapport à X et <x :

L'enveloppe s'obtient en éliminant À et \i. entre les trois équations, ce qui donne le paraLoloïdc

214. Exemple IL Enveloppe d'une sphèra de rayon constant R, dont le centre décrit une surface fixe donnée. — Soient a, b, c les coordonnées du centre de la splièce,

l'équation de la surface ï que décril ce point. L'équal.ion de la sphère mobile est

(S) (a:— rt;;^+ ;</—//-+ [:—/■:«, i;]^—R^ = o,

avec deux paramètres a et b. Pour avoir les points de contact de

la sphère S avec son enveloppe, il faut associer à l'équation (S)

les deux équations dérivées par rapport ii a et ii b.

Ces deux équations s'écrivent comme il suit, en désignant par

n et ti les dérivées partielles -^^~èX-^ ;

Voici comment on peut interpréter géométriquement ces équations : si on regarde ^',y, ' comme des coordonnées cou-

341 COURS D'ANALTSE

rantes, ces deux équations représentent la nonnale ii l;i surface S, au point C(fl, li, c). En effet, les équations de l;i normale îi cette

en y l'cmplaçant- c par /'(rt, h) et chassant les dénominateurs, ou obtient les deux équations (2).

Ainsi, la sphère touche son enveloppe en deux points M et M', 1^, situés à l'intersection de la sphère avec le

/ ,'' I "'■ / diamètre normal à la surface S (fig. 110). / si •(. 1 , On peut dire aussi qu'on obtient Ten-

' V — -i — -^ — ' veloppe, en portant sur les normales aux

/' / divers points C de la surface 2 des longueurs

CM = CM'=R. La surface enveloppe, lieu des points M et M', s'appelle surface parallèle a S : les plans tangents en M et M' à l'enveloppe étant tangents à la sphère, sont, en effet, parallèles au plan tangent en G i» S, puisque ces trois plans sont tous potpendiculaircs au diamètre MCM'.