I, - DÉFINITION ET FORMULES
215- Courbure d'an cercie.— D'après l'idée vulgaire de conr- ItiH'o, un cercle a une courbure d'aulaut plus grande qu'il s'éloigne plus rapidement d'une de ses tangentes, c'est-à-dire que son rayon est plus petit. Kn précisant cette no lion, on convient d'appeler vourhure d'ui cercle de rayon R, l'inverse du rayon
On peut, comme il suit, évaluer la courbure d'un cercle dont on connaît seulement un arc MM'. Menons les tangentes Mïet MY au cercle, aux extrémités M et M' de l'arc considéré, dans un même sens de circulation sur le cercle, et appelons z l'angle de ces deux tangentes, (let angle étant égal ii l'angle au cenLrc MOM', on a {fi g. 111)
arcMM' = lk, d'où L
Il ■ arc MM' l'ormulo i[iil lionne la courixiic du cercle.
216. Courbure moyenne d'un arc de courbe. Courbure en un point. — On étend les notions précédentes ii une courbe jdano quelconque de la façon suivante :
So]t{/!,g. 112} Î\[>I'
lo arc d'une courbe plane, Ml et M';' los extrémités de cet arc, dans un même sens de circulation sur la courbe, et désignons par e l'angle de ces deux tangentes, que l'on nomme l'angle de c-onlingeitc-e. On appelle courbure moyenne de l'arc M^I' le rapport
Quand le point M' se rapproche du point M, ce rapport varie.
On appelle courbiira an poini M la limilo vers hiquelle tend la courbure moyenne de l'arc M^I', quand le point M' tend vers le point i\I :
Courbure en M--: I
tAcr
Fig. ,
cMir ■
On désigne cette courbure par -j^-, et on convient d'appeler R le rayon de courbure de la courbe au point M, Ainsi, le rayon de courbure en un point est inverse de la courbure en ce point :
217- Centre de courbure en an point d'une courbe; cercle de courbure ou cercle osculateui: — Le centre de ciniibnre G d'une courbe en un point M est le point obtenu en portant, sur la normale, dans la concavité de la courbe, une longueur MC égale au rayon de courbure R au point !\I (Voyez figure 112}.
Le cercle de courbure ou cercle osculateur en M est le cercle décrit du centre de courbure C comme centre, avec le rayon de courbure R comme rayon. Ce cercle est langent ii la courbe en M ; nous verrons plus loin qu'en général il traverse la coui'be au point M ; de tous les cercles passant par M, c'est celui qui se rapproche le
plus de la courbe, au voisi
âge
du,
nt M.
218. Expression du rayon de courbure en coordonnées n tangalaires. — Soit une courbe plane, sur laquelle nous pri
COVRBBnE. DEFINITION ET FOBMULES
origine 0' des art
Désignons par ir l'iingle de la tangente M( à la courbe avec une direction fixe Ox (Voyez fig. 112). Quand le point M se déplace en M', l'arc O'M augmente de l'arc MM' =;is, et l'angle tr augmente de At. L'angle s des tangentes M;! et il'i' est égal à la valeur absolue de At. On a donc, pour la courbure moyenne de l'arc MJI', l'expression
où il faut choisir le signe de façon à avoir un résulUi La courbure-^ au point M est alors donnée par la forn
lï'
arc MM'
Or la limite de —
1 don.
.il le signe doit èli
ro clioîsi du
façon
En désignant les
cook1..iiii6cs
d'un
ïar X et y, on a
Ut M de la couri
D'autre piirt :
dxd^ij — 'dijd'.r
d.tcPi/ — di/d^.t
ds =- Vd.r- -+- dif ;
d.rd'-y — dyd\r
yGoosle
couits a-A.
^ALÏSE
Suppi
rsons
es coordonnées
d'un point de la c(
rbc
exprimées m
l'onction d'un parani
ctre n par les form
al
os
on mua,
onp
rcnant u comme vavi
able indépendante
dij = •/;,!) io,
Si on
supp
ose r
'équation de la i
:ourl,e résolue par
appc
et si on
prend x comme variable
Indépendante, on
en
gnant p
ar li'
et </
' les dérivées p
remière et deuxièi
in<
! de
rapport
il .,■ :
l"d.,\ ,Fx =
et, par
suite.
li ~ ,, ,,.-'- :<- + !/';•
ÛLins loiitos CCS formules, il l'aiit preiulre le signe de telle l'açoii que R soit positif. Par exemple, dans la dernière formule, il faudra prendre le signe + si y est positif, e'est-ii-dîre si la eouvbe en M tourne sa concavité vers les // positifs ; il faudra prendre — , dans le cas contraire.
En un point d'inflexion, v" = 0, le riiyon de courbure est intini : le cercle oscnlateur se confond avec la tangente.
219. Rayon de courbure d'une conique. — Considérons uno conique rapportée à un axe O.i' et à la Umgente au sommet Oi/. L'éqnatlon de la courbe est de la (orme (1) ^■' = 2i,j-^,/.r'-,
p est le paramètre de la conique ; le genre de la conique dépend du signe de ij :
Si </<0, lii tourbe est une ellipse;
Si y > 0, hyperbole ;
Si^::;0, parabole.
COUHIIVBE. DÉFINITION ET l'ORilULES S-lg
Appelons n In Inngoour de la normale >1\ du point M a l'axe ; nous allons montrer que le rayon do coniJnire en M est
iîu effet, on a '^S" 15)
et, par snite, pour une coni'be qaelcoU([ue,
Si nous supposons y positil' en ^I, (/" négatil', i
Appliquons cette formule aux coniques. En dilterentiant deux fois l'équation {!), on olitient
vu" + !/'■ = 'l >
reniplacikiit dans la deuxième équation '/' par sa valeur tirée de la prem'ière
Remplaçons daus le deuxième membre i/- par sa valeur (1) et réduisons, il vient :
D'où, en substituant dans la valeur de — ,
Ce rayon peut donc être construit graphiquement, à l'aide de deux quatrièmes proportionnelles.
Application aux sommets d'une ellipse. — Soit une ellipse de sommets A, A' et B, B'. Cherchons les rayons de courbure aux
sommets. Le grand axe étant pris pour axe des x et la tajigente au sommet A' pour axe des y, l'équation de la courbe est
Doi
D'autre jiart, lalongneai' n de la normale MN est
» = .'/ V^l + y =^y^!/'!/'^- Comme
on voit t[ue, au point ;V [x-~0, ij^O),
Alors
B', k normale MX a pour rayon de eourbure est do
(Sommets A et A').
(Som
lOtsDelB').
blables AEC et AKB donnent
Pour construire les centres de cour- -ibure correspondants, on trace le rectaiifçle formé par les tangentes aux quatre sommets (fig. 113), et, du sommetE de ce rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur la droite AB ; les points C et D où celte perpendiculaire coupe les axes sont les centres de courbure relatifs aux som-
?ts A et B . En effet, les triangles sem-
COURBURE. DEI'lyiriON ET FORMULES 351
De ra6mc, les Lriangles DDE et BAE donnent
au Ir
Ces points étant construits, on peut tracer les cercles oscillateurs à l'ellipse aux quatre sommets et en conclure un tracé approximatif de la courbe qui se rapproche beaucoup de ces cercles au voisinage des sommets.
En A et A', les cercles osculatcuvs sont intérieurs a l'ellipse ; en B et B', ils sont extéj'ieuts.
