C-Kï
il' .
Le rayon de courbure, en un point d'une chaînette, est égal a la longueur de la normale du point de la courbe jusqu'à l'axe 0.r.
221- Rayon de courbure de la cycîo'ide. — En calculant l'arc de cycloïdc (N" S8), nous avons trouve
s = Za siii -
35a COURS D'ANALYSE
D'autre part, la tangente à lu cycloïde, au point M, étant la droite MB qui fait avec la vertical p IB, c'est-à-dire avec une
directionfixe, l'angle ~^; l'angle s de deux tangentes infiniment
non do courbure est donc
Or, dans le triangle BMI, on a la looffueur n de la normale
irbure, en M, est égal au double de la nor-
male MI..
222. ExEiicicE. Trouver une courbe plane dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale. — Soit n la longueur de la noi'juale de|uus le point de la courbe jusqu'à l'axe O.r, k une constante, un doit avoir
Supposons // positil, on a Si ;/' est posîlil,
la courbe a l;i forme I (/(^'. 114) et l'équaLioLi du problème esl
fi+fi^^^y^rz
COunillRF., DEFI.VITION ET FORiiri.ES
Si, iui contraire, y" est négatif,
ivbe M la forme (II) [fig. 114}, et réqiiiilioii s'écrit
- = -/■y^/rq
L'équation (2) se tlétluit de ;i) par le ehaiigemciiL de / t^i ■ — k. IVaprès cela, on peut considérer l'équation (1) comme exprimant la propriété demandée dans tons les cas, ii condition de regar-
der /,■ comme positif, si la oonrbe a la forme l'I), et comme iiégiitif, si elle a la forme (II). Ou peut dire aussi, en désignant par C le centre de courbure relatif au point M, que k devra être regardé comme positif, si les deux segments CM et JIX sont de même sens, et comme négatif, si CM et ilM sont de sens contraires. Intégrons alors l'équation différentielle des courbes cbercbées
cette équation est dite du deuxième ordre, car elle contient la dérivée seconde de la fonction inconnue //. En divisant par y'I-t-j'^, on peut écrire
Remarquons que l'on a
Il ch/' d>/' dfi di/' ,
yGoosle
COURS D'.i
cette expression et mnllipliiinl [i;ir 2d;/ :
Le picmlcr membre est lu tlirTérentiellc de i(>g(l + i/'-., el le
deuxième, celle de y log y. Ces deux fonctions, ay;int des dille-
reiitielles égales, ne diiTérent que par une constanle et on ii
en désignant la constante par — -r-lng ('■ Si l'on éci'ii
log(l+/;») = log(-f)',
on ;i, en passant des logarithmes aux nombres.
On il ainsi, avec deux constantes arbitraires a\ et a, l'équatiou des courbes demandées. Quand on fait varier la constante ,r„, la courbe se déplace parallèlement à Ox. Quand on fait variei' a, la courbe change de forme en restant homothétiqne par rapport au point x = .r^, j/;^0.
cornnuRE. dèfisitjon et forhiles 355
Cas d'intégrabîlité. — I.n diiFéreiitielle, soumise ;i l'iiitcgratioii, diiiis le deuxième memlirc de l'équatiou (3), est une. diircreiiliclle binôme delà forme
Cherchons les eus d'iiitégi'.ibilité, d'après ce qvie (N" 89). Aetuellement yj n'est pas entier. On ;i
L'intégration est 2>ossible, quand l'un de entier E positif, négatif ou nul. On peut donc intégrer quiind
e'csl-li-dire
k = 2\'., ou A=2E+1, e'est-îi-dire quiiiid k esl un entier quel- __ conque, pair duns le premier cas, impiiiv dans le deuxième.
En prenant /.■ ^^^ — 1, on trouve nn cercle ayant son centre sur Oj>, résultat évident ; et k = l, nue chaînette ayant Oj: pour base [N° 220).
Pour /: =: — 2, on trouvera une cyeloïde engendrée par nn point d'un cercle roulant sur O.r (S" 221).
Achevons les calculs pour k = 2. Alors
'-'■-W-ir-'
Elevant au carré, on a une équation qu'on peut é
COl-RS D'ANALYSE
irhe est nue parabole ayant l'axe Ox pour directrice
Doue, dans une parabole, le rayon de courbure est égal double de la normale depuis le point de la conrbe jusqu'à la directi'ice :
MC. = 2 SÏN.
: COUBBi: PLANE DANS LE VOISINAGE D UN POINT
223. Développement de l'ordonnée en série. — ■ Suit 0 uii point quelconque de la courbe : prenons ee point pour origine. pour axe O.v la tangente, pour axe Oi/ lu normale du côté de la concavité de la courbe
par la for
l'équation de la courbe. En supposant .r suflisamntent petit, on pourra, si l'origine
lu point singulier de la courbe, développer // en série
nule de Jlac-Laurin ;
Cette série sera convergente dans un intervalle symétrique par rapport il zéro et représentera, par suite, un arc de la courbe compris entre deux ordonnées placées symétriquement par rapport il Oy.
Comme la courbe passe par l'origine, ^(0)^0 ; et comme la courbe est tangente il O.e, le coefficient angulaire f{-r) de la tangente est nul an point 0 : f'(p) = 0.
(Cherchons le rayon de courbure ii l'origine.
On a, en général,
Actuellement, (i
ÉTUDE D'I-XE COURBE PLANE DANS LE VOISINAGE D'UX POINT 56j
A l'origine, x = 0, y s' donc, cnappcliint H„ le
mule et ?;" devient égal à f"{0). On ivoii de coni'bure li l'origiiie,
On pourrait, de m^me, avoir une signiruMtion géi de /"'(O). Pour cela, prenons la dérivée de-Tr-piir rap en appelant R' la dérivée -r— ■ Il vient:
Faisant,
3, .r.= Oet 1
R' ilésiffnant la valeur de R' =
marquant que i/' :
Li point 0.
On peut alors écrire le développement (1) de y, en y remplaçant f(p) et f (0) par zéro, /"'(O) par la valeur ci-dessus
;out des coeilicienls constants, dont le premier a pour
Cette forn rèmes.
uettre d'établir dive
224- Le centre de courbure, en un point d'une courbe plane, est la limite du point de rencontre de la normale en ce point et de la noi-male inûniment voisine. — Démontrons le théorème pour le point 0. Le centre de courbure, en 0, est, par définition, le point C„ obtenu en portant sur la normale Oj/, dans le sens de la concavité, une longueur 0C„ égale à R„ [fig. 116).
J58 COUns D'ASALYSI-:
Soit 1\I, lin point voisin de 0, Lu normale, en ce p(niit, a poiir éfiuation
et le point A, on elle conpn la normale 0^ (X =0), a pour ordonnée
Remplaçons la cléiivce // pav sa valcar tirée du développement (2) ; il vient
ensimpliliajil,
i-h:!«iV
Quand le point M se rapproche indéfiniment du point 0, les coordonnées *■ et i/ tendent vers 0, et l'on a
llmï=Ro.
Le point A tend doue hU-n vers le centre de courbnre C„.
225- Si on abaisse d'un point ?i[ de la courbe la perpendiculaire MP sur la tangente en 0, le rayon de courbure en 0 est donné par la formule
li. = lin,-^l^,
■1 :\ip
qitandM tend vers 0.
En effet, en désignant par .v et /y les coordonnées de M. on a l'A?. 116)
OP'-^..r\ llP=j.
