PM
yGoosle
tio COURS D-A!\'AI.YSE
Qiiulul lu poîiiL M tend vei-s 0, PM leiul
port ^^" Loiul vcis \\, ftoii a
llmU = U„.
ce t[ui clùmoiiti'c lu Lliéopùmc.
227 , ie cercle de courbure, en an point 0 d'une courbe, est la limite d'un cercle passant par 0 et par deux points de la courbe infiniment voisins de 0. — Snieiil ^I cl M, deux points (lo lu ci.iirho voisins de 0. Les trois points OMM, AéVcv-
mîneiit un cerde. Ce cercle tend vers le cercle de courbure en 0, de quelque manière que l'on fasse tendre les points M et M, vers 0 le lon^ de la c&urbe (fig. 118, 1).
Pour simplifier, nous nous bornerons au cas où on l'ait tendre les deux points JI et M, successivement vers 0. Si on fait d'aboi'd tendre Mj vers 0 en laissant M fixe, le cercle OM^iM devient un cercle tangent en 0 îi la courbe et passant par M. Si, ensuite, on fait tendre M vers O, ce cercle devient le cercle de courbure en (), d'après le tbcorènic précédent,
228- Le cercle de courbure, en unpoint d'une courbe, traverse en général la courbe. — En effet, considérons d'abord un cercle, passant par le point 0 et deux points voisins M et Mj pris sur la courbe dans le voisinage de O (fig 118, I). Si un mobile suit la courbe en marchant de la gauche vers la droite, il est d'abord hors du cercle jusqu'au point M^ sur l'arc M,0, il est dans le cercle, sur l'arc OM, en dehors, et, sur l'arc qui suit le point M, il est dans le cercle. Mous avons, sur la figure 118, pointillé les arcs intérieurs au cercle et tracé en traits pleins les arcs exté-
ÉTUDE D'UNE COVIillE PLANE DANS LE VOISINAGE D'UN POINT 36)
rieurs. Si, iiiiiiiiteiiant, les points M et M, tendent vers O, les arcs MjO et OM disparaissent, le cercle devient oscillateur en 0 et il ne reste que les deux arcs B^O et OB qui sont: l'un extérieur, l'autre intérieur au cercle osculateur (/?^'. 118, II).
229. Ordre de contact d'une courbe et du cercle osculateu, — - Considérons un cercle quelconque de rayon R tangent à la courbe en 0. L'oi'domiée MP d'nn point de la courl>e rencontre ce cercle en un jioint M,, vi de 0, dont nous appellerons i/, l'ordonn [fig. 119). L'éqnation du cercle étant
l'ordonnée y^ est la plut deuxième degré en //
petite
et nous dcvcloppci
Cela posé, calculons la dliférence MP — M,P des ordonnées correspondantes du cercle et de la courbe. L'ordonnée y de la courbe étant, d'après le développement (2) du X" 223,
DiMic, s! lî osl cliilereiU de R„, c'est- ii-clire si le cercle considéré est distinct du cercle de courbure, la différence ij — y^ est infiniment petite du deuxième ordre.
Muis, si R :;=R||, c'est-ii-dire si le cercle considéré se confond avec le cercle de courbure en 0, la différence y — y^ devient infiniment petite du troisième ordre au moins. On peut donc dire que :
De tous les cercles tangents en un point à une courbe, cest le cercle oseulateur qui se rapproche le plus de la courbe.
Ces formules montrent également qu'en général le cercle oseulateur traverse la courbe. En effet, supposons que le cercle considéré se confonde avec te cercle oseulateur R=R,, !! — y^ = a.x'-^....,
où les termes non écrits sont du quatrième degré au moins swjc. Quand x est infiniment petit, la différence y — y, a le signe du premier terme ax^. Elle change donc de signe avec x : si, d'un côté du point 0, le cercle est au-dessus de la courbe, de l'iiutre côté, il est au-dessous.
Si on cherche les abscisses des points d'intersection de la courbe et du cercle oseulateur, il faut chercher les valeurs de x pour lesquelles y— y, est nul :
CcLte éi[u;itioii admet la
On peut dire que le cercle oseulateur en un point coupe la courbe en trois points confondus avec ce point, ce qui est, sous une autre forme, le théorème du N°227. On peut dire aussi, d'après les définitions posées au X" 150, C[ue le cercle oseulateur a, avec la courbe, un contact du deuxième ordre.
Cas exceptionnel. Soiiunels. — Pour certains points particuliers d'une courbe, il peut se faire que le coclliclent a soît nul. Dans ce cas, la différence
yGoosle
RAyO.V DE COURHUnE EX COORDOX S ÉE.'i i'Or.ÂIRF.^ IfSl
commence par nn terme en ,r', elle est infiniment petite du quatrième ordre avec x ; comme elle ne change pas de signe quand .V change de signe dans le voisinage de 0, le cercle oscillateur laisse la courbe d'un même côté aux environs du point de contact. En un point de ce genre, le cercle osculateur a un contact plus élevé avec la courbe qu'en «n point ordinaire. On peut dire qu'il a quatre points confondus communs avec la courbe, car l'équation y — Vi^^ ^ i'^^ racine quadruple nulle. Le contact est du troisième ordre.
Un point de cette nature s'appelle nn sommet de la courbe. On peut caractériser ces points en se reportant à la valeur du coeHicient a (X° 223)
Comme R'o est la valeur que prend la dérivée de R par rapport à 3; au point O, on voit que a est nul toutes les fois que R'„ = 0, c'est-à-dire en tous les points où le rayon de courbure passe par un mn.ximiim on un minimum.
On trouvera donc les sommeLs d'une cmirbc, en écrivant que R
ou^ est maximum ou minimum.
L'exemple le plus simple de sommets est fourni par les quatre sommets d'une ellipse. Eu chacun de ces points, le cercle osculateur u quatre points confoudus communs avec l'ellipse, il ne traverse pas la courbe {fig. 113).
III, — EXPRESSION DU RAYON DE COURBURE D UNE COURBE PLANE EN COORDONNÉES POLAIRES
230- Angle delà tangente avec le rayon vecteur. — Soient /■ et S ics cooidoMiiécs jiolaîres d'un point M,
l'équation de la courbe. Appelons V l'angle de la tangente en M avec le prolongement MR du rayon vecteur. Soit M', un point InGniment voisin de M, ayant pour coordonnées polaires /■-[-</?■ et 'i-i- dfi: décrivons, de 0 comme centre, avec OM =r comme
COURS D'À?/ALYSE
riivoii, un lire de cercle 3H>. Quand M' tend vers M, l'unglo PM'M tend vers V. ]-e triangle infinitésimal MPM' est rectangle en P,
llP = r,ffi, PM'.= (fr, PM'M=V.
Donc, d'après les rorinules élémentaires sur les Lrianglet langles,
,■,/!) = *langV, d'où CangV = -^ = ~,
dr
en désignant par ;■' la dérivée
rfr
Rayon de courbure. — Soit t langle de la tangente M/ avec O.t on a, dans le triangle OAll (p.g. Ï.Hh.
on, d'après la fortunle
]3'fiulrc [i;n-t, hi difierentielle de l'arc est (N" 61)
(2; ih=S/lh^^^-.
Pour avoir le rayon de coiirlniio, il siiflit d'uppllquer lii formule
i , ch
telle f^u'cllc résulte de la définition mèjuo Ci" 218;.
iVoiis ferons le calcul, <
riableiudéiienilantcO
i-t désignant par /■" la clérivéo secondo do r par rapport à (t. \,i,i, ocrirons
^J Jf£
Or, d'i.jiros
il;.
, J'.prl-s (2Î
ir = *''"-'■'■
Donc
i>ii lo signe doit ètio choisi de façon ([ue -jt^ soit positll'.
l'oiii' la retenir plus facilement, il est coiiiniode de cette formule sous Iji forme suivante :
iii[ [ — ) désigne la dérivée seconde de ^, pur rapport à H. Points d'inflexion. — Ce sonl les points où R ^ X , -77=^"; ''^
t donc donnés par l'équation
Sommets. — Ce sont les points pour lesquels II ou -77- pas:
COI.-RS D'ANALYSE
un minimum. On les obLicnL eu (.■ci'ivanl.
l'cqualiou
.pi'il osi inutile lie tléveldppcr.
KxEMn.K. Cardioïde :N" (;2). — l,'o([nLiliou <le la ceidioido est
,- = „;.l+co8 8\ On il donc ;
Après des réductions évidentes, on ii
;■■ + 2 i-" — >■;■" = 3 n'(l + eus 6) = .1 «;■, ,'+,'"=2o"(l + co.8)-i2»,-.
Donc
Le lavdn de courljnic varie proporlionnellemeut à la racine carrée du rayon vecteur /■. H est lutl, au point de rebroussemeiit.
Le rayon de courbure étaiil toujours fini, il n'y a pas de points d'inflexion. Quant aux sommets, on les obtient en chercbanl les poiuts où R est maximum ou minimum. Comme R varie proportionnellement à \ r, il suffit de chercher les points où r est maximum ou minimum. Ou trouve les points O^O, 9^7:.
La première valeur donne un véritable sommet, le point 7=2 n, où le rayon de courbure atteint un maximum
La deuxième valeur donne le point de robrc où R atteint son minimum 0.
;M VOX TIF. COI linVRE FN COOUDOXAÉES POLAIHESi 367
