Hélice queJconqw

Xous appellei

- Considérons un cylindre quelconque, dont les génératrices sont parallèlesàOc, et^sur ce cylindre, une hélice obtenue en enroulant sur lui un plan dans lequel on a tracé une ligne droite. Prenons pour axe O^ la perpendiculaire abaissée d'un point A de l'hélice sur O; {fig. 126). Soit M un point de l'hélice, P sa projection sur le plan des x>j. Le lieu de P est la section droite du cylindre, dont

ons *■ l'arc de l'hélice, arcAM = s.

e les coordonnées du point P en fonction de t,

""fij), ï=?('), ^=(1-

APPLICÂTIO.y AUX HÉLICES. llliLlCE OSCULÀTRICE ^87

I/ai'c AP ùtiiiit ùgiti a t, on a

dC" = <U^ + ^//^ = [f^ [1] + ï'^ (Oj dL\ donc

Appelons f le l'ayoa de courbure do la section droite AP en P : comme lest l'm-c AP, on ii (X" 238) :

Ceci posé, passons à i'hélice, lieu du point M. Ce point a mêmes coordonnées x et ;/ que P ; son ordonnée MP = .z est proportionnelle a Turc AP : donc

(M) •''=ni), j-îC). '=''■',

), désignant une constante positive. D'jiprès cela, dx =f{t) dt, dy = a' [t] dt, dz == '/.dl, ds=Vd.T-'+d>/-^d.z'' = Vi-^V-dt.

On a ;

^ fi'] . ^^ ?'(') ...^ '^-

Comme y est constant, la tangente fait un angle constant avec les sénératrices dn cylindre, propriété élémentaire bien connue,

. dit d^j dy P ormant ensuite —v- > — 7— ? — r— , on a ds ds as

r(<) JL-Jli

R ~ ! + ).■' R 1 + ),' m, en ajoutant les carrés,

'après la valeur de -j < P R = ?(I+),').

COUnS D'.:

Le rayon de courbure, en ÎM, v;irie donc proptinioiiiicUemcnl ■AU rayon de courbure correspondant de la section droite.

Comme y' est nul, lii normale principule est perpendiculaire aux génératrices du cylindre, et, comme elle est perpendiculaire à la tangente, en M, à l'iiélice, elle est normale au cylindre. Le plan osculateur d'une hélice quelconque contient donc la normale au cylindre en ce point. C'est lii une propriété qui tient au lond à ce que l'hélice est le plus court chemin d'un point à un autre sur la surl'ace du cylindre. Nous verrons plus tard que, sur une surface quelconque, la ligne la plus courte entre deux points est une courbe telle que la normale principale, en chacun de ses points, coïncide avec la normale à la surface.

Revenons à l'hélice et calculons sa torsion. Comme y' =0,

on a — ^ = u et, par suite, ds '

\insi, dans une hélice quelconque, le rapport du rayon do irbore au rayon de torsion est constant. Nous verrons plus tard

APPLICATION AUX HÉLICES. HÉLICE OSCVLATRICE 38ij

que, réciproquement, toute courbe gjiuchc, pour laqucUe -=- est constant, est une hélice.

Remarquons, en outre, que, ■■'étant négatif, la biiiornialc MN" est placée comme le montre la figure.

Remaiique GÉOMiiTRiQrE. ^11 est aisé de démontrer géométriquement que la normale principale d'une liélice est normale au cylindre. En effet, la tangente il l'hélice taisant un angle constant aiec une direction lixe 0;;, le cône directeur des tangentes est un cône de révolution autour de 0-, et la courbe t, découpée par ce cône sur une sphère de rayon 1, est un petit cercle dont le pôle est sur 0^ [fig. 127). La tangente AF il la courbe t est alors pei'pendiculaire au plan AO::, et, comme elle est parallèle îi la l'i^. '■>■;-

normale principale, cette dernière est perpendiculaire à 0;, c'est-ji-dire aux génératrices du cylindre sur lequel est tracée l'hélice.

243- Courbes sinistrorsum et conx-bes dextrorsum. — D;uis les figures précédentes, nous avons représenté des hélices de.e- Irorsuin tournant de gauche à droite. Pour ces hélices, le trièdrc >[;, MX', MN", Ibrmé par la tangente [fig. 125 et 126), la normale principale et la binormale, dont les sens positifs sont déterminés par les conventions adoptées, est disposé de telle façon, qu'un observateur, ayant les pieds en ^I, la tète en t et regardant dans l'angle N'MX", voit MX' ii droite et ^IX" à gauche. Dans une hélice tournant de droite îi gauche, la disposition du trièdre est inverse.

Si l'on considère maintenant une courbe gauche quelconque, on voit, qu'aux environs d'un point M, elle peut affecter deux allures différentes, suivant que le trièdre des directions positives M r, MX', MX", présente une disposition ou l'autre. Si cette disposition est la môme que dans une hélice sinistrorsum, on dit que la courbe, au point JI, est siiiislrorsuin ; sinon, elle est <{e.vtro/-siifn .

On peut se rendre compte aussi de l'existence de ces deux

Sgo COURS D' ANALYSE

cas, en remarquant que, sur une petite étendue, un yrc de courbe gauche quelconque peut Être assimilé ii un ai'c d'hélice circulaire: alors cet arc d'hélice peut tourner de gauche ii droite ou de droite à gauche.

244. Hélice circulaire osculatrice. — On appelle hélice osculatrice, en un point M d'une courbe gauche, l'héHee circulaire ayant, en ce point, même tangente Ml, même normale principale MN', même binovmale orientée MX'', même rayon de courbure et même rayon de torsion. Un petit arc de cette hélice, au voisinage du point M, peut être pratiquement substitué à un petit arc de la courbe.

Soient R et T les rayons de courbure et de torsion de la courbe en i\I, a le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracée l'hélice oscolatrice, h son pas et /i la quantité -^y^ ■ Nous avons vu que les rayons de courbure et de torsion d'une hélice circulaire

Actuellement, R et T étant connus, on tire a et /.■ de ces formules. On a, immédlaton

Pour mettre l'hélice- osculatrîce en place, rappelons-nous que la normale principale à nue hélice circulaire rencontre normalement l'axe du cylindre sur lequel est tracée l'hélice et que la génératrice MG du cylindre, passant par un point M de l'hélice, est située dans le plan N"M(, en dehors de Va ngle'S"'Sll(fig. 125) et fait avec M/ un angle aigu, iMG== a, dont la tangente trigonomé-

trique est -y-, c'est-ii-dire^, d'après les équations précédentes.

Il faudra donc, pour avoir la direction des génératrices du cylindre, mener par le point M de la courbe, dans le plan N"M/ [fig. 128), une droite MG située en dehors de l'angle N"M ï et

faisant T

PPLICATIO.V AUX HÉLICES. HÉLICE OSCVLATRICE Sg i

I; un angle aigu ; M G = tp, dont la tangente

On porte ensuite, sur la normale pi pale MN", une longueur MB=fl= pililt" et on a un point de l'axe du cylindre. L'axe lui-même est la parallèle BB' à MG menée par B. L'iiélice oseulatrice est ainsi entièrement définie.

. L'axe du. cylindre circulaire, sur leijuel est située l'hélice oseulatrice à une courbe, en M, est la limite de la perpendiculaire commune à la normale principale à la courbe, en M, et à la normale principale infiniment voisine.

En effet, comme, dans une hélice circulaire, toutes les normales principales rencontrent normalement l'axe du cylindre, on peut dire que l'axe du cylindre est la perpendiculaire commune à deux normales principales quelconques. Si donc, on assimile un arc infiniment petit MM, d'une courbe gauche à un arc d'hélice circulaire, l'axe du cylindre contenant cette hélice est la perpendiculaire commune aux normales principales à la courbe, en M et M,.

Ce théorème détermine complètement l'hélice oseulatrice, car, une fois l'axe BB' du cylindre connu en position, le rayon du cylindre est BM, et l'hélice, ayant même tangente que la courbe, est déterminée, car, sur un cylindre, il n'y a qu'une hélice tangente à une droite donnée tangente au cylindre.

245. Remarque sur les caractéristiques des trois faces du trièdre M f N'X" le long d'une courbe.— En chaque point d'une courbe gauche, nous avons défini un trièdre, dont les ai'ôtes sont la tangente M/, la normale principale MN', la binormale MN" {fig. 129J.

La face t MX' de ce trièdre est le plan osculateur ; la face N'MN" est le plan normal ; la face ïMX" s'appelle le plan rectifiant. Voici la raison de cette dernière dénomination : quand le point M

Iga COURS D-ANA[.rSK

décrit lu courbc! donnée, le [)laii iMN" enveloppe une surface développable sur laquelle est tracée la courbe : on démontre que, par le développement de cette surface sur un plan, la courbe donnée se transforme en une droite, c'està-dire est rectifiée. Nous énonçons seulement ce fait, pour justifier le nom de plan rectifiant.

Les caractéristiques des trois faces du trièdre, c'est-à-dire les droites par lesquelles les trois faces du trièdre touchent leurs enveloppes respectives, ont des po- (."ig, j.jy. sitions simples.

Plan osculateur. — Le plan osculitteiir enveloppe la surface développable engendrée parles tangentes (N" 209). La caractéristique de ce plan est donc la tangente.

Plan normal. — La caractéristique du plan normal est la droite CC, menée par le centre de courbure C perpendiculairement au plan osculateur. Cette droite se nomme droite polaire correspondant au point M. En effet, l'équation du plan normal est, en appelant x, y, z les coordonnées de M

Quand M décrit la courbe, x, ij, z, a, ^, y soat fondions de l'arc s. L'équation du plan contient donc un paramètre s, et, pour avoir la caractéristique du plan, c'est-à-dire l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment A'oisin, il faut associer, à l'équation (i), l'équation dérivée par rapport à s.

Cette équation est, d'aprè tion a^ + 3' + Y^ = l,

elle représente un plan peipem passant par le point

comme on le vérifie immédiatement.

foiumle.

Freiict

J + ÎP-

a,,ai,.:,l»

niKil

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EXERCICES sua LES COURBES GAUCHES

Ce point est précisément le centre de courbure C (N" 239). L'ensemble des équations (1) et (2) représente donc bien lu droite ce passant par le centre de courbure et perpendiculaire au plan osculateur, ou droite polaire .

Plan rectiflant. — Quand le point M décrit la courbe donnée, la caractcristic[uc du plan rectifiant, ou intersection du plan rectifiant, en M, avec le plan rectifiant au point infiniment voisin Mj, est la génératrice jMG du cylindre circulaire, sur lequel est tracée l'hélice osculatrice, en M. En effet, les plans rectifiants en M et M| sont perpendiculaires aux normales principales, en M et M, ; leur intersection est donc parallèle ii la perpendiculaire communie à ces deux normales principales, c'est-à-dire à l'axe du cylindre contenant l'héHce osculatrice.