Cercle osculatear. — l.c cercle os
culatciir
est le eeiTle
liac dans le plan oscolaleur, décrit du
centre
de courbure
onimc centre, avec le ravon de courljuiu e
oiiiiiU' rf
ivon.
COtKBES GAUCHES. TAIJLKAU Di; FORMULES
(Couiic)
.r=rt"). .v=?("). ==M«:
(Arc)
,h = \',U'-l-il!/'+ih\
(Tangente)
X — I Y — y Z— î (fj; (/y th-
(l'Ion osoulateiii
r) (X— X,,-)(j,P= — rf;<(V) + .
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<'?" ?' ''ï" T' & ï ' da T '
1 ( dJ'
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coins n'A.yALYSE
n. - APPLICATIOH AUX HÉLICES — HÉLICE OSCULATRICE
241 . Hélice eircalaire. — Les coorilonnées d'un poiiil di' cette courbe sont données par les formules suivantes (N° 172)
\c pas étant égal à 'l~k. On a
d.r^ — rt sin itdii, <l'J^=- « cos udu, dz ■^^ hdii.
' ds 1/"- + ^-^ ■
On déduit de ces l'ormnles d-A. d'^j, d" et on li
li (/« Klevatit fcs éqiiutions au cane et ajoiitatU, un a
iiplaoant It par cette valeiii',
APPLICATION' AUX HÉLICES. HÉLICE OSCU LATRICE 3Sj
Les cosinus de la normale principale MX' sont donc égaux et de signes contraires à ceux du rayon OP ; cette normale MN' est parallèle à PO; elle est normale au cylindre, comme nous l'avons déjii vu (N" 174).
Nous pouvons maiulooant calculer da' , d'fit' , d-'' , et, en divisant par ds, nous avons
It
où, d'iiprcs l;i valour de R,
1 lt>
CoiinaissaiU «,?,-'.R et T, 1
es demi
ères forimil.
donnent
Nous ne ferons pas ce dernier calcul, qui serait une simple vérification, car les valeurs de a", P",y" résultent immédiatement de l'équation du plan osculateur (N" 174), la binormale étant perpendiculaire ii ce plan. A'oiis nous bornerons à remarquer que la formule
di
une, actuellement, puisque y es
, d'après les valeurs de T, R, y,
386 COURS D'AyALYSE
CcUc v;-,!iiur étant négative, la binormale JIX" fuit avec 0; un angle obtus. Elle est donc dirigée comme le montre la figure 125.
Remaiique I. — En partant des valeurs de a", fi"- v". tcllps qu'elles résultent de l'ét^uation du plan osculateur, calculer directement T à l'aide des formules r
1 pourrait
rfa"
cW'
\ ds
i df T ds
Remarque II, —Ou voit que, dans une hélice circulaire, les rayons de courbure et de torsion sont constants. A'ous verrons plus loin que, réciproquement, toute courbe, pour laquelle R et T sont constants, est une hélice circulaire.
