COURS D'ANALYSE
A,B, C étant tles constantes. La ligne est donc une droite parallèle à 03.
247- Ligne dont le plan osculateur est indéterminé en chaque point. — Poai' quo le plan osculateur soit îndétcrmijié, il faut et il siifïit que les coeflîcients de l'équation du plan osculateur soient nuls en tous les points de la ligne ;
dzd^x — dxd^z = 0, dxd^y — âyd^x = 0 .
On en conclut
d^x dhi d'z dj; (hj dz
Tout d'ahord la relation
d'x __ d'z d.i ~' dz'' donne, en inlégrant,
!og(^x = log(/3 + logfl, a désignant une constante. On en déduit
dx = adz, X ^az-\- h, h étimt une nouvelle constante. De même la relation
d';i d'-z d,j dz '
donne
y = hz^k,
b et k étant deux
constantes. Les deux équalioi
définissent une ligne droiW-
248. Courbe dont la torsion est nulle. — Nous allons montrer qu'une courbe, dont la torsion est nulle, en tous ses points, est plane. En elFet, si ^ = 0, les formules
da" a.' d'fi" p' d'f y'
■rfT'^T"' "dT^T' ir^~Y'
yGoosle
EXERCICES SUn LES COCRU
donnent
Donc a", ^",'1'" sont conslanls et la binormale a une direction fixe. Prenons l'axe 0; parallèle à cette direction, nous avons
Alors le plan osculateur est perpendiculaire ii Or, cl. on a di/d'z — dzd^i/=0, dxd^z~dzd?x = fi.
Ces deux équations sont du premier degré eu d z et d^z-^ comme le déterminant
dj/d'-x — dxd'i/,
ne peut pas être nul, car, s'il était nul, le plan osculateur serait indéterminé, on a
^:^0, d'-z = 0, c'est-à-dire
la coui'ho est donc située daus un plan parallèle au plan des .vi/.
249. Une courbe, le long de laquelle -^ est constant, est une hélice. — l'uur démonh'cr ce théoicmc, rcmari[uons que les l'or-
ds ^ R ' (/s ~ R ' rfs ~ 11 ' ds ~T' ds ~~ T ' ds '^'T ' donnent, par division, en supposant jp- :^ /.,
d-j." =!<;«, d'^"^Up, df = Idf.
Comme X est supposé constant, on a, par l'intégration, a"=),a — rt. V' = X'^ — b, y" = M' — «^i
yGoosle
îgli COURS D'ANAI.rSE
oii rt, bf c sont des constantes d'intégration. MiiUipliaiit la prc mière de ces équations par a., ht deuxième |)ar ^i, la troisicni par Y et ajoutant, on a
Cette relation (1) montre ([ae a, b, <; ne peuvent pas i^tre nuls en même temps, car elle donnei'itit ). ^ 0. Elle exprime que la tanffcntc à la couiLe lait au nnfflo constant avec la direction
En effet, appelons 'i l'angle de ia tangente avec cette direction D, on ;t
0 est donc constant. On en conclut que la courbe est une hélice tracée sur un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à la direction (D). En effet, si, par les différents points de la courbe, ou mène des parallèles à (D), l'on obtient un cylindi'e, dont la courbe coupe les génératrices sous un iingle constant. En dévclopppant ce cylindre, on transforme la courbe en une droite.
250. Une courbe, dans laquelle U etT sont constants, est une hélice tracée savun cylindre de révolution. — En effet, pétant constant, la courbe est une hélice. Or nous avons vu (X°242} que, dans une hélice tracée sur un cylindre quelconque, le rayon de courbure R, en un point quelconque, est en rapport constant avec le rayon de courbure p du point correspondant de la section droite du cylindre. Si donc lî est constant, p l'est aussi et la section droite du cylindre est un cercle. Ce qui démontre le tliéo-
ETCDE D'ur^-E COVIIBE GAUCHE ES iX POIS
IV, — ÉTUDE DUNE COURBE GAUCHE DANS LE VOISINAGE D'UN POINT NON SINGULIER
251. Développements des coordonnées en fonction de l'a — Prenons comme origine un point 0 de h cinwhe, pour ■ (les :f la tangente, pour axe des 1/ \a normale principale, pour axe des ; la binormale. Soit M un point de la courbe voisin de 0, s l'arc O^ll, a, ^, y, a', p', y', a", ^'', y'' les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et do la binormale en ce point, ft et ï les rayons de rig. riti,
courbure et de torsion au même point. Au point O, s est nul, R et T prennent les valeurs R^ etT„,
les
neuf cosinus prennent, à cause du clioix de
eu
s suivantes.
Les
coordonnées .1, y, r Jn point M sont des l'iincti
,=/■(»), ;, = = (,,), î = èW.
f[uc nous développerons par la formule dei\Iac-La quant que /'(O), ta (0), '^{O) sont nuls.
«¥XO)H
2=sf(0)+^>;-''(0)+-^r'(o;+....
Ciilculons les premiers coedicients de ces développements. On
,, , , . dx dii dz ■ • a
a d abord, en écrivant que — ^— , — ^ , — ^ sont égaux a </., A, v, ^ ds ds cis ° '
39S COURS D'ANÂLySE
Jénvant encore par rypport a s, et, remplaçant -p j)ïi1'-tt-,..
dérivons encore une l'ois, en dcsignanl par R' la dérivée de H par rapport à s et rappelant que— r^^ — -n rp , etc., il vient
ri']
