R^ R^ RT

Si l'on fait, dans ces formules, ,s = 0, les neoC cosinus . réduisent aux valeurs du tableau (1) et on a

/'(0}^1, ■i'{0)=0, ^{Oj^O,

Les développements de .r, y, ^ sont donc

(>RJ,

Si l'arc, s ^ OM, est infiniment petit, x est, par rapport à s, du premier ordre, ?/ du second, z du troisième; a; aie signe de s, 1/ a le signe + et î celui de — s'. La courbe a donc la disposition indiquée sur la figure 130, oh on a ponctué la partie de courbe située au-dessous-duplan des x(/. Comme z change de signe avec s, on retrouve ce théorème que \eplan osculateur traverse la courbe.

ÉTUDE D'USE GOUKDE GAUCHE EN U.\ POINT Syg

252. De tous les plans passant par O, le plan oseulateur, en 0,est celui qui se rapproche le plus de la courbe. — En cITcl, un pliin passant par 0 ii pour (if|;uati«n

AX+BYH-CZ = 0.

I,a distiince du point lM(,i', y. z) à ce plan est

En remplaçant x, j/, z par les développements (2), on voit que, si A. n'est pas nul, 3 est infinimenl petit du premier ordre par rapport as; si A est nul, sans que B le soit, le plan passe par la tangente et ne coïncide pas avec le plan oseulateur, S est du deuxième ordre; si A et B sont nuls, le plan coïncide avec le plan oseulateur en O, S est du troisième ordre. Le théorème est donc démontré.

253. Cercle oseulateur ou cercle de courbure. ■ — Soit M un point de la courbe [fig. 130), A sa projection sur le plan oseulateur xO^, en 0, P sa projection sur la tangente Ox. Nous allons d'abord démontrer, comme pour une courbe plane, que le rayon de courbure lîj,, au point 0, est donné par

H. =- lir