AC

Le long de cette courbe, on peut regarder les coordonnées d'un point .r,//,j comme fonctio d'après les formules de Frenet, , , , dx dii -'

4il) COURS D'ANALYSE

Miiisj comme la courbe est sur la surface tloimêe, ees l'onetiuns .r,!/, ; de s, vérifionL idciiliqnemenl l'équation

Différentioiis les deux membres par rapport ii s,, nous aurons

ds, "~ ~à7 (/*■, '^~6f du, ' ou

Cette relation a d'ailleurs une signification géométrique évidente; elle exprime que la tangente AB est située dans le plan tangent, en Â, à la surface.

Dans cette équation (2), y» a,^ sont fonctions de s,, le long de la courbe. D'ailleurs, yj et t] sont des fonctions de x et t/ qui dépendent également de s„ le long do la courbe. On a donc, en dérivant par rapport à s,,

(3) Ov

d'^ ih. tl'i (//) f lia

V rf.r ^ ,1,, d,i d.i ds^ ùy ds.

Oc/ c/.f ()(-/ dij iix c/«, ^ >)y ds,

il'apris le.

: notations adoptées pour

= ,..j,,5. jt-,„^

Portant ces expressions dans la foinuiJe (3) cl lenant compte des formules de Frenet (1), on a

et, en résolvant par rapport iiR,,

COUlillUltE DKS COURUES TIlACEliS SUH USE SURFACE ii;

Ouns cette formule, les valeurs uiimériques de /^, ^, /■,«,; dcpcii- Jeut seulement des cordonnécs x et y, c'est-à-dire du choix du point A sur la surface, et non de la courbe particulière AM tracée, par ce point, sur la surface. Les quantités a, 3, v sont connues, quand on connaît la tangente i\ la confite et n! , ?',"', quand ou connaît sa normale principale.

269- Théorème I, .S'/, juir un jini'U iCiiiif .■iiirfure, on I race iina coiirlie quelco/ujuc, k raijoii de cuHrliurc ih- celle courbe, en ce point, est égal à celui de la section plane de la surface par le plan oscillateur ii la courbe.

En effet, d'après la lormulo (-1), une l'ois le point A choisi, R, ne dépend que de y., ?, y, x', ?', '/ : R, est donc le même pour toutes les courbes passant par A, jjoiir lesquelles ces sis quantités sont les mêmes.

En particulier, si on considère la section de la surface par le plan osculateur, en A , ii la courbe A^l. cette section plane est une courbe tracée sur la surface ayant, en A, même tangente et même normale principale (|iie la cuurlio AM. l'Hic a donc même rayon de courbure R,,

Ce théorème ramcjie i'étnde des rayons de courbure, eu A, des courbes passant par A sur lu surface, a l'étude des rayons de courbure des sections planes.

Nous allons établir maintenant un deuxième théorème, appelé théorème de Meusnicr, qui ramène l'étude des rayons de courbure, en A, des sections planes, passant par A, it l'étude dos rayons de courbure dos sections iioinialos.

270. Théorème II. Tlièorema de Meiisnier. — Considérons une tangente AB à une surface, en A, et une section de la surface par un plan BAN' passant par cette tangente iji.g. 143) : soit AN' la normale principale it cette section, c'est-ii-dire la normale située dans le plan de la section ; désignons par Cj le centre de courbure de cette section. D'autre partj menons, en A, la normale Ai\ a la surface et considérons le plan BAX ; ce plan, passant par la normale il la surface, détermine dans la surface une section plane qu'on appelle une section norniale. Soit C îe centre de courbure

/|i8 COURS D'APtALrSB

(!e la section normale, point qui est situé sur la normale à la surface. On a, alors, le théorème :

Théorème de Meusuier. Le centre r/c coin-hnre C, d'une sedion oblique est la projection, sur le plan de cette section, du centre decourbure C de la section normale correspondante,

Pour démontrer ce théorème, reprenons les équations de la normale, en A,

Choisissons arbitrairement, sur cette normale, un sens positif. Pour fiser les idées, nous prendrons comme sens positif hi demidroite AN ayant pour cosinus directeurs