ES TRACEES SUR UNE SURFACE

la section normale, R, augmente, et, pour 9^0, le riiyon de courbure prend la valeur

Le centre de courbure de la section normale s'obtient en portant sur AN une longueur AC ^R. La comparaison des formules (5) et (6) donne

R, = Rcosri;

Cette relation démontre le tliéorème, car elle montre que AC, est la projection de AC sur AW.

2° Supposons ;-œ^ + 2sœfi + ;p-<0. Alors cos 9 est négatif, e est obtus {fig. 143, 11).

Si on fait tourner le plan de la section olilicjue BAN' autour

de BA, en faisant croître 6, on voit que, pour 9=Tt, le plan de la section oblique coïncide avec celui de la section normale, et la normale principale AN" de la section oblique vient coïncider avec le prolongement de AN au delii du point A. Le rayon R^, donné par la formule (5), tend alors vers

Vi^P'-

et le centre de courbure C, de la section oblique tend vers un point C situé sur le prolongement de AN, à une distance AC^R. Dans cette hypothèse, la formule (5) donne

^Rcos(tî— o;

yGoosle

relation qui démonlre le théorème de Mei puisque, dans le triangle CAC,, l'angle CAC, = 7: — 0. La droite AC| est clone la projection de AC sur AN'. En résumé, dans tous les cas, on obtient C, en projet;int C, sur le plan de la section oblique.

C'est là l'extension, à une surface quelconque, d'un thcorcme évident pour la sphère. Soit AB une tangente à la sphère en A : une section oblique, passant par AB, coupe la sphère suivant un petit cercle de centre C, ; la section normale, passant par la même tangente, est un grand cercle de centre C ; il est évident que le centre de courbure C, du petit cercle est la projection de C sur le plan do la section i-ig, ,4i, ob\iqae{fig. 144}.

21i. Convention pour le signe des rayons de courbure des sections normales. — D'après le théorème précédent, il sudit de connaître les centres de courbure des sections normales, en A, pour connaître les centres de courbure des sections obliques.

Nous sommes donc ramenés à étudier la position des centres de courbure des diverses sections normales, en A, c'est-ii-dire des sections obtenues en faisant tourner le plan BAN autour de la normale AN.

Nous avons vu que le centre de courbure d'une section normale peut se trouver, soit sur la partie positive AN de la normale à la surface, soit sur le prolongement de AN {fig. 123, I et II). Dans le premier cas, le rayon de courbure de la section normale est :

Pour

ne lonnulo unique dans les deux cas, nous conviendrons de donner un signe au rayon de courbure d'une section normale, en regardant le rayon de courbure comme positif, quand le centre de courbure correspondant C est sur la partie positive

COVRBVBF. DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE ^ai

AN de la normale, et, comme négatil', dans le cas contraire. Avec cette convention, R désignera la valeur algébrique dn segment AC estimé positivement dans le sens AN choisi sur la, normale, et cette valeur algébrique R est donnée par la formule unique

Dans cette formule, le numérateur est positil"; le dénominateur dépend de a, ^ : il varie, quand le plan de la section normale tourne autour de AM, car ot, p, y sont les cosinus directeurs de AB. Le signe deR dépend donc uniquement du signe du dénominateur.

Si ri — s' est positif (surface à courbure totale positive en A), le dénominateur de R a un signe constant, quels que soient a et ^ : toutes les sections normales ont leurs centres de courbure d'un même côté de A. Ce fait peut être prévu, car, dans ce cas, la surface est tout entière d'un même côté du plan tangent en A, et toutes les sections normales tournent leur concavité dans le même

Si rt — s'<0 (surface à courbure totale négative en A), le trinôme du dénominateur est tantôt positif, tantôt négatif; certaines sections normales ont leurs centres de courbure d'un côté de A, d'autres de l'autre côté. 11 existe alors deux sections normales particulières, pour lesquelles R est myî/i(: ce sont les sections normales, passant par les deux directions asymptotiques AD et AD', précédemment définies comme les tangentes, en A, à la courbe d'intersection. de la surface par le plan tangent (Voyez fig. 95).

En eflet, pour que R soit infini, il faut et 11 sullitque les cosinus directeurs de la tangente AB vérifient la relation /■a=-+-2sa3 + (3^ = 0.

Or — est le coefficient angulaire de la projection de la tangente AB sur le plan xOt/. Si donc, on appelle -f l'angle de cette projection avec 0,r,

1 a, pour déterminer o, l'équation

(tang^'?+2stango-

yGoosle

425 COURS D'A-yALYSE

p.ctte équation est précisément celle qui détermine les projections des directions asympto tiques, au point A (N" 187).

Si rt — s*^0 (surface à courbure totale nulle, en A), i\ esL toujours de même signe, car le trinôme ra^ + Ssa^ + i^^ est un carré parfait. Mais R devient infini, pour une direction particulière de la tangente AB, qui est la direction asymptotique unique iSSi, existant actuellement en A.

2T2. Variation du rayon de courbure d'une section normale, en un point d'une surface. Indicatrice. Directions principales. — Il nous reste « étudier lu variation des rayons de courbure des sections normales, en un point A. Nous allons montrer que, pour connaître les rayons de courbure de toutes les sections normales en un point, il suffit de connaître les rayons de courbure de deux sections déterminées, rectangulaires, appelées sections principales.

Pour simplifier cette étude, prenons le point A comme origine, comme plan des xi/ le plan tangent en A, comme axe des z la normale en A. On a alors, en appelant /)„, i/„, /■„, s^, ?„ les valeurs des dérivées p, q^ r, s," t a l'origine

car le plan tangent, en A, coïncide avec xOy. L'équation de la surface étant

si on développe ;; par la formule de Mac-Laurin, le développement commence par les termes du deuxième ordre, car la fonction z et ses deux dérivées premières p et tj sont iiulks à l'origine. On obtient donc le développement

Comme nous ie savons, le plan tangent, en A, coupe la surfiice suivant une courbe ayant, en A, un point double à tangentes réelles ou imaginaires, suivant la nature de la surface. C'est ce que nous pouvons vérifier. Kn coupant la surface par le plan z==0, on a la courbe

0 = -L{r„x'^2,,x>j-]-iy)+ ...

yGoosle