COURBURE DES COURUES TRACÉES SUR U,\Ë SURFACE

SOUS de A, monte jusqu'à la position C", correspondant à la section ;AI1", La valeur de R" est doi Si le plan normal continue à toui valeurs dans l'ordre inverse.

La Tormiile donnant R s'écrit t

relatif pour R.

, W repasse par les mêmes

Il peut arriver, en particulier, que R" = — R'; uk trice est formée de deux hyperboles équilatères conjuj

Troisième cas .

est nulle en A.

l'étjuation

1^ — xl = 0. — Dans ce eus, la courbure totale s deux directions asymptotiqucs définies par

ulo AD. Si 1

nous voyons que le trinôme du deuxiè parfait, qui conserve un signe constant quand C9 varie. Ce trinôme s'annule pour une seule valeur de tangy, correspondant précisément à la direction asymptotique unique AD.

Supposons, pour fixer les idées, r^>0.

Alors ^ est toujours positif; toutes les sections normales ;.\B ont leur centre

de courbure au-dessus du plan tangent a'Af/. Pour étudier la variation de R, portons, sur la trace AB du plan de la section normale, une longueur :

et cil que (

■cho

; Iiî li.

Il du point I. On Iroiivi;, comme plus haut,

43o -COURS D'Ay'ALrSE

Ce lieu est encore une conique, ayant son centi'e en A ; mais, comme cette conique est du genre parabole,

elle se compose de deux droites parallèles. C'est ce qu'il est aisé de vérifier, en multipliant l'équation par /■„ et remplaçant r^t^ par Soi l'équation devient

tv'^

1 désignant le

équation de deux droites parallèles. Ces deux droites sont, d'ailleurs, parallèles à la direction asymptotique unique AD qui existe dans ce cas. On appelle ce système de deux droites V indicatrice relative au point A, Cette indicatrice étant tracée, le rayon de courbure de la section normale rAB s'obtient eu prenanl

point de rencontre de l'indicatrice avec AB. L'j dicatrice a encore deux axes de symétrie Tuu AU' perpendiculaire aux deux droites, Tiiulre An" parallèle aux deux droites et. par suite, confondu avec AD. Ce sont les directions principales : les rayons de cour bure et les centres de courbure corres- Fig. iji. pondants sont les rayons de courbure et

les centres de courbure principaux.

Prenons les directions principales An' et Ail" pour axes {fig. 151). Alorss, = 0, eteomrae

produit ?■„

, est iml.

Supposons

r, > 0, alors

/„ = 0. On a donc,

■. cos>-f , R — AÎ