I.a formule, qui donne R, devient, dans ce cas
^-=-^eos-..
Rjîst-MÉ. — - Kn résumé, si on prend pour axes les deux directions principales AD' et An" et si on appelle R' et R" les rayons de courbure principaux correspondants, avec leur signe, le rayon de courbure R d'une section normale, dont la trace AB sur le plan tangent Tait avec AU' un angle -j, est donné par la for-
Dans le dernier cas que nous vonon formule devient alors
273. Détermination des directions principales et des rayons de courbure principaux, en un point. — Nous venons de voir que, pour connaître le rayon de courbure d'une section normale quelconque passant par un point A, il suffit de connaître les directions principales An' et ATI", en A, et les rayons de courbure principaux R' et R'' correspondants. Voici comment on peut calculer ces éléments.
Les axes étant supposés rectangulaires, mais choisis d'une manière quelconque, nous avons trouvé, pour la valeur algébrique (lu ravoji de ctiurlmic R d'une section normale, dont la trace AB sur le plan tangent a pour cosinus directeurs a, 3, Y :
VU
hrfi^
paux). Ce priiblème ï recherche du niaxim
()uaiid on lait varier AB, R varie et Il ^"agit de trouver les directions de AB rendant R maximum ou minimum [ce seront les directions principales) et les valeurs maximum et minimum de R (ce seront les rayons de courbure pi'inciraniène au problème élémentaire de la et du minimum du quotient de deux entre les trois cosinus a, ^,-', la relation
nous pouvons donc
VL+p' + :f
Mais 011 a
fN" 2G8;
elutioii qui
cs,,ri„,i. ,|,K. AB c.
donc
. le plan 1
Le deuxième memijic élaiit lioiiuigèiie et bas par a el liiisoiis
quotient de deux trinômes du deoxiiîrae degrc
COURDVRE DES COURBES TRACÉES SUR f.VE SURFACE 433
La quantité m est le coefiicient angulaire de la projection A|B| de AB sur le plan horizontal. Qiiand le plan de la section normale tourne autour de la normale en A, sa trace AB sur le plan tangent tourne autour de A et la projection AjB^ de cette trace tourne autour de A,. La quantité m varie de — oc à + co . It s'agit de trouver les valeurs de m, rendant R u les valeurs maximum ou minimum de R.
Directions principales. — Les iiiint ou minimiim, s'obtiennent leuxîènie membre
alei
* de I
rendant R i
rappoi't a m :
ou, en réduisant,
Cette équation eam a deux racines réelles, rit' el in'\ qui sont les coefficients angulaires des projections A^,ti', et Aillj' des directions principales AD' et An" sur le plan des xi/.
On peut déterminer les directions principales par une autre méthode, quand on connaît les directions asymptotiques AD et AD' au point A. Les directions principales sont alors les bissectrices des angles formés par les directions asymptotiques.
Rayons de courbure principal
. — Si l'oi
la quantité S est r Or Oii a
s temps que R.
Im^ -\-2sm —
et il faut trouver le maximum et le minimum de S. A une valeur donnée de S, la relation (11) fait correspondre deux valeurs de m.
APPELL. Annlysc, .S
yGoosle
434 COURS D'ANALYSE
Pour qu'une valeur JonnéedeS soit un maxiiiuimoa ini mitiinuiin, il faut et il suffit que les valeurs correspond;\incs de m soient égales.
L'équation en m est
Tour qu'elle iiit ses racines égales, 11 faut et il sulfit que l'on ait ou, en ordonnant et changeant les signes,
(12) S^(,7— *■') — S[(l+pV + (l + y^)'--:^/"/«]
+ l+/+y' = 0. Celle équation en S a deux racines. S' et S", qui sont le maximum et le minimum de S, c'est-à-dire de ■ j^^.:zj=—
Le maximum el le minimum de R sont donc
R'= /!+/ + / S', R" = t/iH-/H-,5r^S^ On a ainsi les deux rayons de courbure principaux.
274. Courbare totale. — On appelle courbure, totale^ en un point d'une surface, la quantité K'ii"' ■
Cette quantité est égale à
c'est-à-dire, en remphieant S'S" par le produit des racines de l'équation (12)
On voit donc que, conformément aux définitions déjà posées, la courbure totale est positive, négative ou nulle, en même temps que /■/ — s*.
COrlIBLlIE DES COl-IiliF.S TRACKES SUR CWE SmFACE |i)
Les surl'aces, qui sont i\ courbure totale luillo, eu tous leurs points, sont telles qu'en tous leurs points un ait
>'ous verrons plus tai'd que ce sont les surfaceis développahles.
275. Courbure moyenne. — Ou appelle courbure moyenne diiue surfaee, en un point, la quantité
acile à exprimer à l'aide des coellicients de Téquatiou donnant S. Les sui'laces a courbure moije?ine nulle :
