II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

3n. Différentielles totales à deux variables. — SoH

une fonction de deux variables indépendantes x et ï/ : nous avons appelé dilïerentielle totale de h l'expression

Daiis cette expresaii tr et j/; ce sont les dérivées partielles de

on peut se demander s'il existe une fonction ;/., de a; et î/j admettant cette expression pour différentielle totale, c'est-à-dire s'il existe une fonction it telle que l'on ait identiquement

du =f{x, y) !l:r-{^o{x, y) dy.

Cette question peut aussi être posée sous une autre forme :

du,

./.+ ^<ij,

!a qdostioii 11

B vient

Ide

mande:

[■ s'il existe nne

fonction „

; ili

et II, telle c[U(

484 COURS D'ANALYSE

Lorsque la fonction « existe, on dit que l'expression (7) est une différentielle totale exacte. La fonction u est l'intégrale de cette différentielle totale.

Kous allons montrer que, les fonctions /et » étant quelconques, l'expression (7) n'est pas en général une dilTérentielle totale exacte : pour qu'elle en soit une, il faut et il suffit que les fonctions /^et» l'emplissent une condition donnée par le théorème

Théorème. — /'()((;■ que l'expression

f{x,y)dx-\--s{x,y)d!f,

soit une différentielle totale exacte, il faut et il siifffi, que l'on ail 'dentiqjiement

df &f 1i~ ù.r ■

.1" La condilion est nécessaire. — Kn effet, supposons qu'il xiste une ionctîoH '', de ,r et y, toile que

■ u, ce qui revient au même, telle que

ù(( , .in , ,

'liT-rt-'.!'). isr =■?('■.;/;■

V.n dérivant la première de ces relations par l'apport à .r, la lenxlènie par l'apport à y, on a

dxiiy ùy d;/ù.i' è.i-

2" La condilion est suffisante. — Soient deux fonctions /'(j^, !/) et 'f(x,(/), vérifiant cette condition (8); nous allons montrer qu'il

INTÉGRATION DES DlFFÉREPITIE£.l.ES TOTALES 485

existe une fonction ii, admettant f{:r, y) (lx-\-'-s[j^,!/)di/ pour diR'él'eiitiellc totale, c'est-à-dire vérifiant les deux relations

et déterminer cette l'onction.

Pour cela, cherchons d'abord la l'onclion ii, de .i et //, lu plus f^éiiérale, vériPLaut seulement la première des conditions {!))

Comme, dans la dérivation par rapport i» .r, 1/ est traité comme une constante, la l'onction la plus générale /(, vérifiant cette dernière condition, est une l'onction primitive de f{x,y), par rapport à ,f, augmentée d'une constante arbitraire indépendante de .r. On a donc (10) „=j'r,r,s)<tj:+i;lji].

OÙ la constante arbitraire indépendante de x est une l'onction quelconque de y que nous désignons par g{ii). Ija limite inférieure j:„ de l'intégrale est un nombre quelconque que, dans chaque cas particulier, on choisira de façon a. simplifier les calculs. La fonction u, ainsi calculée, est la l'onction la plus générale vérifiant la relation

■rt'.,'/)-

Xous allons maintenant déterminer ,^'(^i, de façon que cette fonction /( vérifie aussi la relation

in . .

l*ou]' calcider la dérivée de la fonction (iO) par rappoi'l à //, remarquons que, sous le signe j la lettre y figure comme un paramètre Indépendant de s: et que les limites j;^ et .2: sont indépendantes de y ; on peut donc appliquer la règle de ladérlvatîon sous le signe I et on a

dy J,„ 'hj dy

yGoosle

4Sr, COURS BAyALYSE

On doit doue ;noir

Remplaçons-^ pur hi quantité ideutîque, par hyputhùso, -^. La relation devient

Mais riutégrale indéfinie de ■ if '"'^ dx est ■f(.r,?/); l'intégrale dclinie, entre les limites x^ et x, est donc

et réf[uation à vérifier devient ; on, eu réduisant,

]'',u inîégritut par rapport à y, nous anroLis gi^ij) :

oti C est une [constante, ne dépendant plus ni de x ni de // ; la limite inférieure y„ est un nombre quelconque. Remplaçant g[i/) par cette détermination dans l'expression (iO), on a enfin

(11) „=fj(x,,j)J^^j'y^„„)d:, + c.

Dans cette formule, la première intégration est faite, en regar dant 1/ comme constant.

Le problème est ainsi résolu : en supposant remplie la condi-

()/■ __ ils