Règle. — Considérons une intégrale définie
dans laquelle la fonction, soumise à l'intégration, dépend d'un paramètre X, indépendant de :r, les limites a et b étant des <[uantités indépendantes de t.. Cette intégi-ale définie I est alors une fonction de 1 et, dans certains cas, on peut avoir à calculer la dérivée de I par rapport à À.
On peut, dans un grand nombre de cas, obtenir cette dérivée par l'application de la règle suivante ;
La dérivée de l'intégrale I, par rapport à î-, est égale à l'intégrale de la dérivée de f{x, ).) par rapport à /.
dl /»"
dr{.-v,l
■dx.
pourvu que lu nouvelle intégrale, ainsi défini lin effet, par hypothèse, on a
DII-FÈRESTIATIO.y SOUS LE SIGNE / .\-,'
Donnons li ), un accroissement A/,; I prend un accroissement AI et les limites ne changent pas, car elles sont supposées iiulépendantes de ).. On a donc
\-^\\=J"f[x,X'^^-K]dx,
il=/ [/■{.r,>, + i/.;.-/V,"'-)]'^x.
Divisant par A/,, on a
Si nous iKhiieltoas que l'intégrale
un sens, nous voyons que, A), tendant vers zéro, l'expression ■e — ^ tend vers I ■ ' '.,' — dx . On a donc, d'après la définî-
On peut dire que l'on obtient la dérivée de I, par lapport îi A, eu dérivant par rapporL à /. sous le signe I .
Kn appliipiaiil: de nouveau la même règle, on a ensuite
ifi.' ~J, nv '
pourvu ([ue cetle nouvelle intégrale ait un sens. Et ainsi de suite.
313. Kxi;ml>le 1. — Cette règle permet de déduire d'une intégrale connue d'uutres intégrales. Ainsi, considérons l'intégrale
78 coins D-ANALrst:
CeUe intégrale est aisée à calculer, car l'iiitograle indéfinie
Calculons les déi règle précédente, i
D'autre pari, coi RiQle (2), on peut < les formules
/Ve
de l'intégrale (Ij, d'apri d'I
di.- J„
: connue explicitement rectement ces dérivées,
e I est connue explicitement par la foi'uler directement ces dérivées. On a ainsi
Ces formules peuvent, d'ailleurs, être aisément vérifiées, car les intégrales des premiers memlires peuvent être obtenues par l'intégration par parties.
314- Exemple II. •— On peut, dans certains cas, par l'application de cette règle, déterminer des intégrales définies, qu'il serait difficile de trouver directement. Soit, par exemple, l'intégrale
-ds ,
qui a un sens, tant que ). est positif. Pour calculer cette intégrale,
remarquons qu'elle est une fonction du paramètre )> et calculons
la dérivée — ;=— : nous aurons dk
car la nouvelle intégrale a un sens. Cette nouvelle intégrale est.
DIFFÉRENTIATIOy SOUS LF. SIGNE f
iiu signe près, celle que nous avons calculée au u" ;i5 et que avons désignée par A. Xous avons trouvé, dans ce nuoiéro,
isaiit la dérivée de I par rapport à A, nous aurons 1 en prenant les fonctions primitives des deux membres regardés 3 fonctions de ").,
(4) I = — arc tung ). + C ,
C désignant une constante indépendante de "/..
Il reste à déterminer cette constante. Pour cela, remarquons que l'intégrale I, définie par la relation (3), s'annule quand A augmente indéfiniment, car le facteur e^""^ tend vers zéro. La nouvelle expression (4) de cette même intégrale doit également
s'annuler, pour ).=^» . Comme arc tang.-» ^-;t-, on doit donc avoir ce qui donne, définitivement,
L'intégrale i est ainsi calculée, en fonction de \.
Cas partic^er. — Faisons tendre 1 vers 0. Le facteur e-"" tend vers 1, arc tang. 7. tend vers 0, on a donc
Nous avons étudié cette intégrale définie dans le n° 141, pour montrer qu'elle a un sens ; mais jusqu'ici nous n'avions pas donné sa valeur numérique.
iMo coins D\i.yA/.ïsi-:
315. Exemple d'un cas où la régie ne peut pas s'appliquer. — ('-uniiiH; lU'iis l'iivotis dit, la règle exige que l'iiitégialo
ait un aens. Si cette liitégviile n'a pas rie sens, ecla ne \eiit |ms (lire i[iie l'intégrale
n'a pas tle tlérivée, mais seulement (juc cette dérivée n'est plus fournie par la règle simple que nous avons donnée. Prenons, par exemple, l'intégrale
Kn prenant la dérivée jiar rapport à :ondiiit II l'intégrale
']id n'a pa.t de xcn^ . (]'esl ee qu'on ■ courbe sinnsol'dale
ijui se compose d'ondes toutes égales entre elles, et en reiiiai-quant que l'aire de cette courbe, de 0 à X , n'a pas de valeur déterminée. (Voyez n" 141 pour un l'ait du même genre.)
On ne peut donc pas, actuellement, calculer la dérivée —pr~ pai' la règle de la différentiation sous le signe ( . Mais cela ne veut pas dire cjue cette dérivée n'existe pas. ^'ous allons voii', en eflet, que cette dérivée est nulle.
Supposons, pour fixer les idées, ).>0, et faisons, dans ,1, le cliaugenient de variable
les nouvelles liantes, pouj' ii, sont encore U et +-X' ; d'allieui's
yGoosle
DiFfÉRE.yriATioy sous LF. siG\/: f on a cloue :
j-^r^inidi,,
expression indépendante de }.. Donc, quand/, varie dniie continue par valeurs positives, J reste cousliiiit et on ii
On arrive h un résultat analogue pour >,<0. On Icru alors
Quand ,r varie de 0 il +3C , ii varie aussi de 0 a + x el on a
expression indépendante de '/..
Il se présente ici une circonstance curieuse, sur laquelle il est bon d'attirer l'attention. L'intégrale
est, d'yprès le numéro précédent, égale à-^. L'intégrale
dépend de À de telle sorte que :
). ayant une \'ù\<im- posilife queleonque, J = — ;
). ayant une valeur négative quelconque, J = ^ ;
X ayant une valeur nulle, J=^0.
Ce dernier point est évident, car, pour À-^^O, tous les éléments de l'intégrale sont nuls.
316. Diffêi'ejitiation d'une intégrale définie par rapport é nnparamètre qui iîgure sous le signe j et dans les limites. - Considérons une intégrale (léfiuie
où }. esL un jjiii'iiiHétre indépendant de x\ \ous avons snjiposc, dans ce r[ui précède, que les limites a et b étaient indépendantes de ),. Supposons maintenant que n et i soient des fonctions de ), et proposons-nous de calculer la dérivée de I par rapport à )..
Appelons <^{x,'i-) nue fonction primitive de /'(.r, X) par rapport à œ, c'est-à-dire une fonction telle que
= fu:
Par définition, l'intégrale définie I a pour valeur (6) I = -j(4,-Al-=,(<,,5.)!
on voil qu'elle dépend de ), directement et par l'intermédiaire de a et l>, qui sont supposés fonctions de X. On a donc, d'après la règle de dérivation des fonctions composées,
dï (i\ da 01 M M
Calculo:
. La déi
vee pai
de 1, par rapport a «, -rr — , est égale a -, ■ - ,c est-a-dire.
d'après l'identité (5), à — /'(fl>X) ; la dérivée partielle de I, pai-
rapport à b,-
db
, c'est-à-dire, d'après l'identité (5),
f{b, X) ; enfin, la dérivée partielle de I, par rapport à la lettre X,
figure explicitement dans l'expression (6),
c'est la déri-
est donnée par la
vée de l'intégrale I, par rapport a X, quand on regarde les limites aetb comme des constantes : cette déi règle de dérivation sons le signe j
ir^i ÔX '
'-dx.
INTÈGIIATIO.V DES DIFFERENTIELLES TOTALES
En clcfiiiitive, on a la formule suivante
