INTÉGRALES TRIPLES
Il s'iigil de faire la somme des cléments
pour tous les paritllélépipèdes élémeiifitii'es, dans lesquels on décompose le volume V considéré.
Soit C le contour apparent de la surl'ace S sur le pluo des xy.
Dans ce contour apparent, prenons un rectangle élémentaire dont un sommet A a pour coordonnées cv,t/, les trois autres ayant pour coordonnées x-\-d.r,t/-f x^y-^dy; x-'rd.x, y-\~dy {/tg. 190). L'aire de ce rectangle est dx dy ; considérons le prisme , ayant ce rectangle pour base et ses arêtes parallèles ii 0.^. L'arête AA' de ce prisme entre dans le volume V par un point M, d'ordonnée s,, et en sort par un point M^, d'ordonnée z^.
COURS D'A.\A/.rSf:
Nous cOTimiciiccrous par l'aii'e lit somme des éléments
■■s [.T, ]/, .:) da'dijdz,
pouf tous les parallélépipèdes élémentaires (f^'rf)/(^; situés dans ce prisme. Ces parallélépipèdes forment une pile de parallélépipèdes superposés : ils ont tous même base dxdy; ce qui varie, d'un de ces parallélépipèdes à l'autre, c'esb l'ordonnée z et la valeur de dz-, mais 3:,y,dx,d\} restent constants, I.a somme P des éléments :
'^{x,y,z)dxdiidz,
correspondant îi cette pile de parallélépipèdes, s'obtient donc en laissant x, y, dx, dy constants et faisant varier ; de r^ îi .z^. On ;>
\>=dxdy\/fix.!,, z]dz.
Cette somme est une intégrale définie prise par rappiirL à r
l,a quantité soumise au signe [ dépend de x et y. D'autre puit, les limites z^ et z^ sont évidemment des fonctions de x et y, définies par l'équation de la surface, qui limite le volume considéré. Donc l'intégrale
est, tout calcul fait, ime fonction de .i et y, soit f(x, y) cette fonctioTi :
La somme, relative à la pile de paiallélépipèdes eonsidérée, esl donc :
P = ,hd!,fb;!,}.
Il reste maintenant à faire la somme de toutes ces piles en donnant a la base A, d'aire d.rdy, toutes les positions possibles
ITiTÉGRALFS THlPLf.S 543
dans l'intérieur de la courbe de conlour iij)jiarent C. Oi-, cotte dernière somme,
écède, une intégrale doi [ est donc alors ramenée
I =./■//■(■'. !>) ''"'Il-
est, d'après ce qui précède, une intégrale double étendue à l'aive |»Iane C. L'intégrale I est donc alors ramenée i» l'intégrale double
étendue à l'alrc C, intégrale que l'on calculera |iiir les uuH.liodcs précédentes.
Rësiaiiqi!e. ■ — Dans celle Taçon de calculer l'intégrale I, nous avons d'abord intégré par rapport à z en rangeant les parallélépipèdes élémentaires dxdydz par piles parallèles à 0;. On pourrait, de même, intégrer d'abord par rapport à x ou h y, en rangeant les parallélépipèdes par piles parallèles à l'un des axes Ox .m 0,.
349. Théorème de Green. — Comme application de la théorie des intégrales doubles et triples, nous démontrerons une l'ormule, souvent employée en physique mathématique, appelée formule de Green.
Considérons un volume V {fii>: 190), limité par une surface fermée S : appelons dç un élément du volume V, et di un élément de la surfoee S, placé en M. Désignons par a, ^,Y les cosinus directeurs delà normale MX ii la surface, menée vers Vextèrieur. Soit, enfin, H(.f, y, ;) une l'onction quelconque de .r, i/, :, contiiiuc en tous les points du volume V. Nous allous établir la formule suivante
L'intégrale triple du premier membre est étendue au voliiincY: on l'obtient en multipliant chaque élément infinitésimal df du volume V par la valeur de -^r — , en ce point, et faisant la somme de tous ces produits. L'intégrale double est étendue il la surlace S : on l'obtient, en multipliant chaque élément infinitésî-
■■Hrfcr.
yGoosle
5(ii COURS D'AXÂLTSË
mal cU de surface par les valeurs de II et Je y shv cet élément et faisant la somme de ces produits.
Pour démontrer la formule, prenons l'iiitcgralc triple - dll
et calculons-la en employait un syslèiiie de coordonnées reetan-
dv--^ d.rdijdz.
et l'intégrale devîeni
Effectuons d'abord l'intégration, par rapport à :. Soit, dans le plan Aesxy,dxdy un élément de surface choisi h l'intérieur de la projection C du contour apparent D de la surface S sur le plan des xij {fig. 190). Considéronsie prisme, ayant cet élément ponr base, et dont les arêtes sont parallèles à 0.: : ce prisme entre dans le volume parle point M^ en déconpant sur la surface unélément(/5-,,etsortduvolumep!irlepoiiitMj, en découpant sur la surface un élément d'étendue dT^. Appelons a,, ^j, y, les cosinus directeurs delanormaleextéi-ieure M,N,, en M,; «^,^^,^2 ceux de la normale extérieure M^N^, en M^. Le rectangle cl^-di/ du plan desxy est la projection horizontale de ds^ et de da,^. Donc dxdi/ est égal à dT, , multiplié par le cosinus de l'angle aigu que fait le plan de l'élément da^ avec le' plan des .ry, angle qui est égal à l'angle aigu de la normale indéfinie à dc^ avec O;. Comme la normale extérieure M,Nj fait avec O; un angle obtus, y, est négatif et le cosinus de l'angle aigu de la normale indéfinie avec O; est — y,. Donc :
(2) ,UJ„ = --f,,h,.
De même, comme l'angle dehi normale extéricureM^N^avcc O.r est aigu, y^ est positif et on a
Ceci posé, un élément de l'intégrale triple est
INTEGRALES TRIPLES '. i J
Faisons la somme P de ces éléments, pour tous les parallélépipèdes d.rdijdz, situés dans le prisme AMjM^ : nous devons laisser a-, y, dx, dy constants et sommer par rapport à : ; ce qui donne
en appelant Cj et z^ les coordonuées z des points M, et ^I,, L'intégrale indéfinie est H(,r,y, r) et l'intégrale définie
II., eL 11, ctant. les valeurs dn II sur les élénicuts d'-.^ et d<7^. Donc
i> = rf,i,///(n,— II,),
V ^ — \\dxdy + l\.^d.id!}.
Telle est la somme des éléments de l'intégrale triple, correspondant aux parallélépipèdes, situés dans le prisme de base dxdi/. Pour avoir l'intégrale triple I, il reste à faire la somme de toutes les expressions telles que P, en faisant coïncider successivement d.xdy avec tous les éléments du plan des .ry, situés dans l'inléricnr du contour apparente. On a ainsi
J = f Ç(^U^d.rdi/-i-il/'.edy),
l'intégrale étant étendue h l'aire C. Mais, dans le premier terme, sous le signe d'intégration, remplaçons dx dy par sa valeur (2), — '(^d-J^, et, dans le deuxième, remplaçons dx dy par f^d-^^; il vient
-fh
Dans cette somme, l'élément <^t, prend, successivement, toutes les positions possibles sur la partie de la surface située au-dessous du contour apparent D, et da,^ toutes les positions sur la partie de la surface située au-dessus du contour apparent. On peut donc écrire enfin
coins i/'j.y.i/.rsE
u somme tî;iiit éleiictue il tous les éléineitls sn|ievficLcls f^a. La formule est donc démoiili'ée.
Par exemple, si on fait
relation évideiile, car elle exprime que la somme des vuleiiis algi briques des projections horizontales de loos les l'iéinenls siipi^i ficiels drs d'une surface fermée est itiiUr. Si on fait
II ,= =,41 = 1
Or la loi'mnle devient
I.'iiifégrale du premier membre, somme des éléments d volume, est évidemment le voiume total \' : dmit
'-XCr
formule exprimant un volume par une intéj^rale double étendu il la surface S limitant le volume.
Dans la formule précédente, l'axe des z joue un rôle pai ticiilier. Nous pouvons établir deux formules analogues en fai sant jouer le même rôle aux axes O.r et 0^.
yoient F(.r,y, z) et G (.r, ;/, ;■ doux fondions i'mlcs et couli UHes diins le volume V, on a
Ajoutons les trois formules [i.), [i] et (5) r ons aurons la formule générale
/,/x(^+-If-")"'-.o:^"'-^'^-^">-
INTÉGHA l.F.S iltn'L K S
On emploie aussi, cii électricité, la formule suivante, obtenue en pàrticHlarisantlesfonctionsF,G,H. Soient ).(j-,î/,3) et a(.r,i/,s), deux fonctions de -r, y, z, la fonction tp ayant des dérivées partielles continues dans le volume V. Prenons
it
Os
mule devient :
I quantité
il// Hy
est appelée, ovdinaireraent, dérivée de -i suivant la normale e.rCé-
rieurc à la surface et désij'iièe par —i-. . Voici la raison de cette
du iléiiominalion. Menons la normale extérieure M\, de eosinus
directeurs a, p, y [fig. 191} : prenons, sur cette normale, une longueur MN'=;Ah et appelons x,y, z, x' ,y' , z! \fi coordonnées des points M et N'- Quand on passe de M en X', la fonction s subit nn accroissement
y. =)-ït
cocus D'.i.Wil.YHE
'iipj)i>i't leiid vers
.ut' 1
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