SANS DEUXIÈME MEMBRE

382- Théorèmes généraux. Forme de l'intégrale générale.- — Une équation différentielle linéaire sans deuxième membre

s'écrit avec \n notation précédente

Théorème I. — Soient y,, y,, ..., i/^ des solutions de celle équation, c est-à-dire des fonctions de x, telles que

la fonction

oit C[, Cjv! C^ *<*«; des constantes quelconques, est encore une solution.

On a, en effet,

•f (c.f/, + cjj, + , . . + c^;! — c,-? (//,) + c /? (,!/,) + . . . + c,,=? [>/;, ,

c'est-à-dire

ce qui démontre le théorème

383. Remauque. Soiud'ons distinctes. Fonctions linéairement indépendantes. — Soit y,, une solution de l'équation ; une deuxième solution y^ est dite distincte de !/,, si elle n'est pas de la forme Aj/,, où A est une constante déterminée. Si les deux

6i8 COURS D' ANALYSE

solutions y^ et y.^ sont distinctes, une troisièniu solution y^ est. diio distincte des deux premières, si elle n'est pas de la lormû :

^dU + '^■^k^.etk^ étant des constantes. Si les trois solutions i/,, y^,y^ sont distinctes, une quatrième y^ est dite distincte de ces trois, quand elle n'est pas de la forme :

^1) ^si ^3 étant des constantes.

En général, p solutions

sont dites distinctes, quand la deuxième y^ est distincte de la première, la troisième y^ des deux premières, la quatrième y^ des trois premières, etc.

On dit ausssi, pour exprimer le même fait, que les p solutions sont linéairement indépendantes.

Ainsi les solutions

sont distinctes ou linéairement indépendantes ; il est impossible de trouver des constantes numériques, telles que l'on ait identiquement :

sln'.r =^ké', ou c.oi'^x=^h^e' + ^^siii^j;'. Les solutions

y, = cos 2,r, y, = cos-.r,yj = siii-^,

ne sont pas distinctes : la deuxième est distincte de la première, mais la troisième, pouvant s'exprimer en fonction linéaire et homogène des deux premières, avec des coefllcients constants,

n'est pas distincte des deux première!

ICQUATIO.VS DIFFUREyTIELLES LINli.ilRF.S 619

384. Théorème II. hilégrah gèm-rals. — Si l'on a trouvé n ■wl/itio/is dîstinr/es

dr rèijiialion i/i/fêi-enlielle, celCe équation admet l'intégrale (2; î/ = C,,v, + Q/,+ ... + C„;/„,

(jiii est l'intégrale générale.

En effet, cette intégrale contient n constantes arbitraires Cj, Cj, ...,C,„que l'on peut déterminer par la condition que, pour une valeur particulière x^ de x, la fonction (2) et ses (h— 1) premières dérivées prennent des valeurs arbitrairement choisies, ce qui caractérise l'intégrale générale (X° 378).

Si les solutions i/^, i/^,..., y„ n'étaient pas distinctes, l'expression (2) ne contiendrait qu'en apparence n constantes : par exemple, supposons que î/„ne soit pas distincte de l/,,i/3,---,!/n-i > il existerait alors des constantes numériques k^, /<^,... ,A„,, telles que :

et l'expression (2) deviendriiit

cxpicssiitn dp la forme

contenant aeulciiU'nl n — l constantes arbitraires.

On démontre, mais nous n'insisterons pas sur cette démonstration, qu'une équation différentielle linéaire n'a pas d'intégrale singulière ; toutes les solutions possibles de l'équation sont données par l'intégrale générale (2).

385- Abaissement de l'ordre de l'équation, quand une solution est connue. — De même que l'on peut abaisser le degré d'une équation algébrique, quand on en connaît une racine, de mi^me, on peut abaisser l'ordre d'une équation différentielle

COURS D'ANALYSE

membre, quand on en connail une solution. Soit, par exemple, l'équation du troisième ordre :

■ ' d:r dx^ d.v

Soil u une lonction de x, supposée connue et vcriliunt l'ccjuation, c'est-à-dire telle que ;

dhi , dh, , au ,

" ih:" ' dx- "^ ' dx ^ "'

Faisons i

dors le ciiaiigeiiieiit de fonction

V Olaiit la

tioiivello Touction ioeonnue ; il vient

iPy d'Y dl du d'à

<i'Y d'Y du ,tY d'u " rfx' +■' dx' dx +^ dx dx' ^

Si l'on s

ubstitue dans l'équation (3), on voit qu

le se trans-

Torme en uue équation linéaire en Y, dans laquelle le coeflicient do Y est le premier membre de (4), c'est-à-dire 0.

On a donc, pour déterminer Y, une équation de la forme

d'Y , d''\' , d\ - ' dx' ' dx'' ' dx

Kn prenant alors pour inconnue

du deiixii'iHii ordre

■ dx' ^ ' Jx J.e Lhéorème est donc, démontré.

ÉQUATIONS DIFFÈIIENTIELLES I.l.VÉAIRlîS C-"

On voit comment y s'exprime en fonction tle V : lu relation (.')) puis, comme on a pose i/^iiY, on a

Donc, si on sait Intégrer l'équation tlu deuxième ordre (6), on en déduira l'intégrale générale de l'équation proposée (3) pai' wne quadrature.

Inversement, Y' s'exprime en fonctîoit de y par lu Ibrmule :

qui montre que la connaissance d'une solution de ]'é([Viation on 1/ entraine la connaissance d'une solution de l'équation en Y'.

Si, outre la solution y=^=u, on connaît une autre solution y=^y^ de l'équation proposée, on en déduit une solution

de l'équation (6). On peut alors, par le même procédé, abaisser encore d'une unité l'ordre de l'équation enY'; et ainsi de suite. Exemple, — \ovis avons trouvé (N" 37'^^ que l'équation

admet la solution

Supposons qu'on ait constaté ce (ait, on peut alors l'ordre d'une unité, en posant