III. — ÉQUATIONS A COEFFICIENTS CONSTANTS SANS DEUXIÈME MEMBRE

386 Méthode générale. — Oinsidérons nne éqnation OÙ les eoeilicicnts «,, «j,..., <-/„sont des oojistiuiles. Cette équation

KQUATIOiVS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 6^3

peut toujours être intégrée, par la méthode suivante. On cherche d'aborcl des solutions particulières de la foniic

/■ désignant une constante. On a

/fy ,,^ d-y __ 3 ,,^. d"t/ ^^ ,.^

dx ' dx^ ''"' dx"

Donc, en substituant dans le premier membre de l'équallon,

Le résultat de la substitution est donc égal à e'''^, multiplié par un polynôme de degré « en r, que nous appellerons | (/■) :

D'où, sous l'orme abrogée,

Pour que e'"-' soit une solution de Téquation dill'érentielle, il l'aut et il suffit que ^ (e™) soit nul, c'est-à-dire que /■ soit une racine du polynôme i^(;-).Le polynôme ■}'(/■) a, en général, n racines distinctes i\, r^, . . . , r„. A chaque racine, correspond une solution e" de l'équation : on a ainsi les u solutions particulières

i/i = e'-% V; = e'''%- - ■ ;/n = eV, d'où on déduit l'intégrale générale

,j = C,ev+ C,eV+ ... + C,fiV, iivec« constantes arbitraires C,, C^,-.-, C„,

38T. liixEMi'LEs. Preminr exemple. — Soit à intégrer l'équation liu deuxième ordre :

6î.i COURS D'ANALYSE

cette équation est linéaire, à coefficients constants sans deuxième membre : essayons de la vérifier à l'aide de la fonction

d'où

dx ' <ix'

On a donc, en sul)stîtuiiut,

dans cet exemple, le polynôme 4'('') est y^ — 4.

Pour que l'équation différentielle soit vérifiée par e''', il fiiut et il suiïlf que l'on ait

,.^'Z ou j' = — 2.

On a ainsi les deux solutions

d'où on déduit l'intégrale géiiéiale

avec deux constantes arbitraires. On peut déterminer ces constantes de telle façon que, pour x = x^, la fonction y (8) et sa dérivée —^ prennent des valeurs données à l'avance : c'est ce ([u'il est aisé de vérifier.

Dcii.vii'me exemple. — Soit l'équation

KQVÀTIOKS LlIfÉA/nES A C OE F f IC I K ,\TS COySTANTS 6i^

On a donc les deux solutions

d'où rinlégralc giinéiale

iivcc deux constantes arbitraires C, et C^. Cette Tornie de l'intégrale générale est compliquée d'imaginaires ; on les fera disparaître en prenant, pour C, et C,, des constantes arbitraires imaginaires conjuguéex. En effet, d'après l'identité d'Euler (N° 108).

d'où, en remplaçant dans (0),

j, = (C, + C,) cos 2.V + i (C, — C J sin 2j; ;

on prend alors C, et C^ de telle façon que les coeflicïents de »'os 2x et sin 2x soient des constantes arbitraires réelles A et B

C, + C/=A, i(C, — CJ=B,

et l'cxpi'ession de l'intégrale générale devient

.V-^Acos2,. + BslH2,r,

avec deux constantes A et B,

■ \h,uH la tliéoiie du gal-

Troisième exemple. Galcanomèlre.

vanomètre, on rencontre l'équation

dt-

+ 2.ii+?..0.

où a et p sont des constantes réelles, 6 un angle inconnu, I la variable indépendante. Cette équation est linéaire, à coefTicients constants, sans deuxième membre. Si nous essayons de la vérifier en prenant

«26 COURS U-A^'ALYSE

nous obtenons la conelition

cette équation a pour v:ictnos

et l'intégrale générale est

Discussion. — Quand a^ — ?^>0) i\ et i\ sont réels, l'intégrale générale se présente sous forme réelle.

Quand a^ — fJ^ est négatif, i\ et r.^ sont îiiiagiiianTs : pour l'aire disparaître les imaginaires, posons

6 = e-"'(C,e'V + ae-V).

Remplaçant e'"' et «"'■' par <:<iS-;l-\-i sinv/ et cosy'- — ' siu on a :

Q = e -' [;C, + C,) cos vi + i {i\ - CJ sin -J],

et, eu preiiiuit pour Cj et C^ des eoustiUites im;iginnires cou guées, on a, finalement,

6 = c-''(Aco»Y( + Bsin--0-

Quatrième exemple. — Soit eiilîo réfjuation tlilTérentielle :

Faisant

,■■ S == 0, équation qui a pour racines

■, = — l + iV3, r, = — 1 — i>'3.

ÉQUATIONS LINEAIRES A COEFFICIENTS COIiSTANTS Sa;

L'éqnatioû différentielle admet doocles trois solutions :

d'où rinlégi'iilc générale

Si l'on vent faire tlisparuitve les imaginiiires, on se sert des ide utiles

e''V» =:cos X v/3"+ (■ siii j- v/3, ^-ii-V3 a=cosxv^3 — -/sin,rv'3.

L'inlégrale générale prend alors lu forme :

,j = C,e^ + e-" (A cos j: v'J + B sin x v'^j', avec trois constantes arbitraires A, B, C^.

388. Cas où le polynôme ')- (/■) a des racines multiples. — Kn appelant i\, '■.,,.-., ''„, les n racines du polvnome '[ (/■), nous avons obtenu les n solutions

avec lesquelles nous avons constrnit l'inlégrale générale doTéquiition dilïerentielle.

Si l'équation '}i(7')i=0 admet des racines égaies, les« solutions ci-dessus ne sont plus distinctes : par exemple, si /■^ = y^, la deuxième solution est identique à la première.

Dans ce cas, on ne peut donc plus appliquer la méthode précédente, pour former l'intégrale générale. Mais nous allons montrer comment on peut encore, dans ce cas, obtenir n solutions distinctes.

Pour cela, nous démontrerons le théorème suivant :

Si r\ est une racine double de ({'{/■), férjuaiion différeniiellc admet les deux solutions e''" et .v e''<';

Si i\ est une racine triple de ^ (/") l'équation différentielle admet les trois solutions e'''", se'^'' , x-e'''" ; et ainsi de suite.

Si /-, est racine d'ordre p de +{'"), l'équation différentielle admet les p solutions e''^", xe''''^. x^e^'" x''~' e''<''\

Lu démonstration de ce théorème se déduit de la remartjue suiviuite. Soit c une fonction de a: et d'une uutre variable r: en substituant c dans le premier membre s {ij) de l'équation différentielle, on a un certain résultat

si, ensuite, on substitue, dans le premier membre de la môme équation la fonction , on a

■[itr) • £,- ^' ,h'-' ^ -^ •{ir/

Ces deux expressions montrent que

En efiet, comme on peut intervertir l'ordre des dérivées partielles, on peut écrire

"~ *)/■ L " dx" ' d.x"-'' '" " ]'

ce qui démontre l'identité (11), ICn appliquant deux fols de suite cette même identité, on a

et, en géncraî

Voici maintenant l'appiicallon de celte remuique au problème |ui nous occupe. Pr*

KQUATlOyS l.iyiiMRKS A COF.FI-ICIKSTS COXSTAy'IX 6'jy

On H, quels <[ue soient .c et /■, les iJentîlés

oiilfi dernier terjne de chaque ligne eslhi dérivée, par rapport îi r, du dernier terme Je la ligne préeédeute.

Supposons que i\ soit une l'iicine double de iJj (/■) , on a

[.os denx premières des identités (12), on ou reniplaee rpnr/',, montrent qu'alors

Féquatiou admet donc bien les deux solutions e''''',xe'''^.

Supposons que i\ soit racine triple, c'est-ii-dire nnuule 4" (''} ^t ses deux premières dérivées

I.os trois premières identités (12), oi'i on remplace r par ;■,, montrent qu'alors

l'équallon admet doue bien les trois sohitions t'''" , xe'"'' , x-e'''-'. Et ainsi de suite

En résumé, chaque racine de ■]> (/■) donne un nombre de solutions disllnetes, égal \\ son degré de multiplicité ; on aura donc, dans tous les cas, ii solutions distinctes y,. ;fs,---^ l/,„ avec Ics- ({uelles on formera l'intégrale générale par la formule

yGoosle

63o COUnS D'ANALYSE

389. Exemples. — /'?'(7«(7'er exemple: équation du gal<,>anoinètre. - — Reprenons l'équation

fiiisaiit ^^=e''' on a ici

JN'ous avons supposé, antérieurement, les t!eu.\ racines de if;-) distinctes: supposons maintenant qu'on ait '^J^^ar; alors 'J' (/■} a une racine double

cas, l'équation admet donc les deux solutioui

et l'intégrale générale est

(14) 8=rC,e-"+C/e"°'.

REJiAiiQrE. — C'est d'ailleurs un résultai, que l'on pourrait déduire par continuité du cas général, eu supposant que les deux racines, i\ et î'j, d'abord distinctes, tendent l'une vers l'autre. Ainsi, en posant P* — a* ^ y^ nous avons trouvé (N" 387) pour intégrale générale de l'équation (13)