TT'-J'—J
iitlmettent l'intcp
Taie piemière
En effet, diffci
■cntiant celle reliition, on d(
f/.c (U- dx
•"i^j cuuns Dj.v.u.y.sf-:
!li — !li + '.1= — .'/, + .'/,— //, — 'X
ce (|iii 11 lieu id(!iitii[iicmeiit.
Do môiiio,
,'/f + .'/iH-.y'^CS f^t une ;iutL'o iiilégr;ilf; prcmiôro de ces t-quxitloiis (lllleruiitiulk-s,
404, Usage des intégrales premières. — JJeiix iiifcgriilcs premières
sont dit<'s clisliLictcs. quiuul/; n'est piis une loiieli"!! de /' : iiiilroiiieiit, il esh ('vidoiit fino les deux lelatimis (12) se rôduiiaiejit it
c'est expi'iiiiei' un seul eL même lait, il siniiir i[lio/| reste eimstiitil. Les deux intégrales premières (12) l'tant supposées distînetes, une troisième intégrale première
est dite distincte des deux premières, quiuid /j n'est pas une fonction de /l et /^ ; el Jtîusi de suite. Ainsi, diins l'exemple précédent,
soiil doux liili'fi'i'iiles premières distinctes. I.n t'€l;ition
liqVAriONS SlMULTAfl'ÉES DU PREMIER ORDRE 657
(!st aussi une intégrale première de l'équation (11), comme il est aisé de le vérifier ; mais elle ncxt pan dïnlincte des deux précédentes, car on a identiquement
Ui'ji + y^i + v,y, == -^-Li-'/i + ih. + !i^- — (,'/;+ ni 4- yf!\ ;
donc le fait que
est constant, résulte des deux relations (13).
Revenons au cas généra!. Si on connaît une intégrale première
des équations dîiFérentielles (5), on peut simplifier Tintégration du système, en diminuant d'une unité le nombre des fonctions inconnues. En effet, on peut, de cette relation (14), tirery„ en fonction de .r, »/|,yoi ■■■, y^-t et C ; en portant cette expression de y„ dans les {n — 1) premières équations différentielles, on les transforme en an système de n — 1 équations simultanées au — 1 inconnues ^,, »/j, -■■, J„i-
Si on connaît deux intégrales premières
^(■■'■>yi.»i'---'y„)--C„
fÀ''>yi'y^<---'y.)=^t^
on peut en tirer IJ,^^ et y„ en fonction de x, i/„ i/^,...,i/„^3, C^ et C;. En portant ces expressions de !/„, et y„ dans les n — 2 premières équations différentielles (5), on les transforme en un système de n — 2 équations simultanées an — 2 fonctions inconnues y,, y2,---,y„-i ■
Et, ainsi de suite. La connaissance de chaque intégrale première nouvelle sert ii abaisser d'iuie unité le nombre des fonctions inconnues,
t n intégrales premières, distinctes des équa-
tions (;")) (15)
le système est intégré: de ces ii relations (15), on tirera l/,,!/^,.. ,;/„ en Toiictioii de x et de n consfantes arbitraires C,, C^,..., C„, Par exemple, pour le système
: intégrales première;
nous ponvons alors abaisser de deux unités le nombre des fonetions ineonnues. Résolvons les équations (13) par rapport a J, et y, : nous avon.
d'iiii lin conclut hicilcmcnt
■J), — !/,f = 2 (Cj — J/;, — (C, — j,j',
;/■ - ;/. = V 2C, — Ci + 2c,j, — 3;,;.
Jli I r
\/2c, — q+2C,//,— 3yr
Cette dcniiôre quadrature s'effectue facilement à l'aide d'il lire siuns ; ou a alois ])^ en fonction de .r, Cj,C.„C^, et, en rt luontani, on a ij., et ;/,.
o^^s smu/.T.i!\'iii:s d'ordre quelcoxç ve 659
m. - ÉQUATIONS SIMULTANÉES D^ORDRE QUELCONQDZ SÉDUCTION A UK SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE
405. Méthode générale. — Si l'on a à intégrer un système (le n équations simultanées d'ordres divers, a n fonctions Inconnues, on le ramène ii un système d'équations du premier ordre, y un nombre plus grand de fonctions inconnues, eu prenant pour iuconnues auxiliaires les dérivées successives des fonctions inconnues primitives.
ExEMPLiî TiiiÉ Dv. LA. MKCAM(ji;i;. — Cousidorons un point matériel libre de masse m et de coordonnées j^, y, s soumis à une force F dépendant du temps t, de la position du mobile et de sa vitesse. On sait que les équations du mouvement sont
/II- ' ' di- ' dt-
X, Y, Z désignant les projections de la force. Ces projections sont , . , , , âx dii dz ^ .
des lonclions données de t,x,y,z, —, H-'-t— ■ '-•'^^ équations
dt
du iiiouvejncnt sont donc de la foiiiio
d'x ___ ^ / dx dy dz \
■ ' I dt' ■ V ■' ' dt dt dt I '
Elles constituent un système de trois équations du deuxième ordre ii trois fonctions inconnues ,r, ?/, ~ de la varialile indépendante /.
Pour les ramener ii un système d'équations du premier ordre, prenons, comme fonctions inconnues auxiliaires, les dérivées de x,ij,z, en posant :
'dT^'^'' ~dr^'>'' IT^'''
yGoosle
COURS D'.iy'ALYSE
a, alors, le sysLcme
dt ''H .
formé de sue équations du premier ordre, définissant les six Ibnctions inconnues x,y,z,x' ,y', z' , en fonction de (. Les intégi'ales générales de ce système sont déterminées, quand on connaît les valeurs j„, y^,s„,(ff^^y'^,z\A.e& six fonctions inconnues, pour ï=î„. Cela veut dire, au point de vue mécanique, que le mouvement du point est déterminé, quand on connait les coordonnées .r„, y„, ::„ du point, à un instant initial t^, et les projections .('„, //'„, ;'„ de sa vitesse, au même instant.
Dans cet exemple, une intégrale première est une relation de la (orme
entre la variable indépendante i et les six fonctions, c'est-ii-dire entre (, les coordonnées du point et les projections de la vitesse. La connaissance d'une intégrale première permet de ramener l'intégration du système à celle d'un système de cinq équations du premier ordre à cinq inconnues; chaque nouvelle intégrale première permet d'effectuer un abaissement d'une unité dans le nombre des inconnues.
On donne, en dynamique, des théorèmes généraux, tels <|uo le théorème des forces vives, le théorème des aires, etc., qui permettent, dans certains cas, d'obtenir des intégrales premières.
CIIAPITRl'] XXIII
QUIi:r.QL-ES EXEMPLliS D'ÊQUATIOXS AUX DERIVEES PARTIELLES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE
406. Forme générale. — Soient ; une finiction des deux viiviables indépendantes .v et '/, p et q les dérivées premières de z pur rapport îi x et y respectivement, on appelle équation aux dérivées partielles du premier ordre, ii deux variables indépen-
danlf^s, une équation de lii lorme :
Intégrer cette équation, c'est trouver tontes les l'onctions z de .cet If qui la vérifient.
F.n considérant x, y, z comme les coordonnées d'nn point dans l'espace, toute relation entre x, y, z définit une surface, et l'on peut dire qu'il s'agit de trouver toiites les surfaces vérifiant la condition (1). On appelle ces surfaces les surfaces intégrales.
La dilïërence essentielle, qui sépare l'intégration des équations aux dérivées partielles de l'intégration des équations différentielles il une variable indépendante, est que l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre contient une fonction arbitraire, tandis que l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre, à une variable indépendante, contient une constante arbitraire. Cette fonction arbitraire doit être telle qu'on puisse en disposer de façon à faire passer la surface intégrale par une eoui'be donnée à l'avance.
Par exemple, l'équation
e intégrale généra
eivi covns D'A.v.iLrsf:
a (Hrtiit une fb/iclion arbitraire : toute surl'iice définie par une relation entre z et x — y est une snrfaee intégrale ; par exemple on peut prendre
En eiFct, si <in prend la surface
quelle que soit lu i
nature de la fonction a.
Les surfilées
sont des cylindre
s dont les généralrices
; sont pa
i-allèh
droite
On peut déterminer la fonction o, de façon que la suilace intégrale (2) passe par une courbe quelconque donnée D. Il suffit, pour cela, de former l'équation du cylindre, ayant pour directrice la courbe D et ayant ses génératrices parallèles il la
droite (3).
1. — EXEMPLES DE FORMATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE
407. Objet du paragraphe. — Nous avons vu que, étant donnée une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une conslan/e arbitraire, l'ordonnée d'un point d'une de ces courbes.
KQUATIOKS AUX DKRIVKES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 6li:i
coiisidérée comme fonction de l'abscisse, vérifie une éijuatioii différentielle du premier ordre (X" 355). Nous allons montrer, par des exemples, que, étant donnée une famille de surfaces dont l'équation dépend d'une /bnc/io« arbitraire, le s d'un point d'une de ces surfaces, considéré comme fonction des deux autres coordonnées .r et y, vérifie une équation aux dérivées partielles du premier ordre.
Nous allons traiter successivement, à ce point de vue, les surfaces cylindriques, les surfaces coniques, les surfaces de révolii-
408. Équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriquea. — On sait qu'un cylindre est engendré par une droite G, parallèle à une direction fixe OG', s'appuyant sur une directrice donnée D (/(0-. 207). Soient
les équations de la droite OG' à laquelle I parallèles. Les équations d'une génératric
C, et C, désignant deux constantes arbitraires. En faisant varier Cj et C^ d'une manière quelconque, on arriverait à faire passer la droite G par un point quelconque de l'espace. Mais îl faut exprimer que cette droite G s'appuie sur une directrice donnée D : cette condition se traduit analytiqnement par une relation entre les deux constantes arbitraires ;
Pour avoir l'équation du cylindre, il faut chercher droites (G), dont les coefhcients C, et C^ vérifient la coi
dition (4) .
664 COURS D'A.\Al.rSli
L'équation du cjUiuIre s'obtient nlors, en élimiiuiiit C^ et C^ entre les équations de la génératrice G et l'équation tle condition (4). Ou obtient ainsi l'équation
F{a.z — cx,l>.z~c,j)^0,
atioii générale des cylindres, dont les génératrices ont la direction donnée. Pour obtenir tous ces cylindres, i! snflit de faire varier la forme de la fonction F ; on peut donc dire que l'équation générale des cylindres est (5), F étant une fonction arbitraire.
Nous allons montrer que toutes ces surfaces cylindriques satisfont à une même équation aux dérivées partielles indépendante, de la iait que, si une surface a pour équation :
5 partielles y^ et q de ; par rapport à .r et y, sont don-
obtenues, en dérivant successivement par rapport à j: et y, et i-egardant z comme fonction de j: et y. Posons, pour simplifier
l'écriture,
l'équation des cylindres devient
La fonction ¥[u, c), dépendant de i.
de u et f, a pour dérivées partielles OF __ W W
yGoosle
ÉQVA'IIOtiS Al'X DlimiKES l'AliriEf.l.ES DV PltllMIER ( Les valeurs de/» et q sont clone données pitr
' " 'ir
,t par
''■'PP"l'L
M' Je ^
iO.
port de ^- — il ^ — , et on oljtieiil Ja veliitioii
Telle est l'cquiitiou aux dérivées partielles des cylindres.
Interprétation géométrique. — Cette équulion exprime une propriété du plan tangent, qui est évidente géométriquciiieiit. Elle exprime que le plim tangent
en un point M de lu siirlace {fig. 207), contient la droite MA, menée par M parullèlemeut aux génératrices, cest-à-dire la tangente, en M, à la génératiîce MG, passant par ce point. En efiet, cette droite MA a pour équations :
yGoosle
666 COUDS D'ANALYSE
et, en exprîmant qu'elle est dans le plan tangent, on a la concli-
ap-\-hij = ,-.
409- Équation aux dérivées partielles des surfaces coniques. — Une surface conique, ayiint son sommet à rorigine. est engendrée par une tlr{)ito mobile G, passant par 0 (/î^'. 208j, les cqnrttions de cette génératrice sont de la forme
Ci cl Cj désignant deux constantes arbitraires. Pour engendrer un cône, il faut assujettir cette génératrice G ii s'appuyer sur une directrice D, ce qui s'exprime analytiquement par une étpiation de condition
entre C, cl C,
aus. Pour obtenir l'équation du cône, il snllit d'é-
liminer C, et C^, entre les équations (G) de la génératrice etl'équation de condition (7). On a ainsi, poni l'équation générale des cônes de sommet 0,
F désignant une fonction inhitrairc. Posons
la fonction F — ,^^ prend la loimc F ,'„, r). et ses c partielles, par rapport à ,r et //, sont données par les for
ilF 0]L^ OF aF 5
t).i- il;( ,f^ ' ^ij Oc y- '
JF HT'
jMf 1^
JF
Qi-.iriONS AH.K Dl.ltIVKES !'AltTllLLLi:S DU ï'!iEM!E!i OUDItE GG;
if JF . ilF , ,1F „ . ,
Les équations --- +;J -r^ = 0, — -+y-j:- = 0, cim i.
lient]} et q, deviennent tlonc
ilF r / «F 1 W l\
on, en ordonnant,
1 SF
L'qiLîitioiis, élimi
l^ntve CCS deux coiintioiis, elimuions le l'Linniirt de ^; — a ^r— , ' ^ '■ On i)i'
nous avons
Telle e8tréi]initl(Hi iin\ dévlvées piiitiellcs des surfaces cuiii(jues iiyant leur sommet en 0.
Interprétation géométrique. — Cette é(|iiii!ioii exprime que le plan lîiLigent, on M, à la surface,
z - =^,(x -.t)-\->j ;y —ij),
contient la droite MA. dirigée suivant OM, c'est-h-dire la tangente eu j\I à la génératrice G passant par ce point, ce qui est évident géométri<[uenierit. En eiïet, la droite MA a pour équations
el, on exprimant qu'elle est dans le plan tangent, on retrouve Ijien l'cqualion f8''.
