Intégi'ation par i

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"'i {yi;u' (Vi^î \UiU>--- sont les valeui's que |,r.-iiiif iiL //, ot ses dérivées successives pour .r^^O, etc.

Nous allons montrer que les coeflleients de ces séries sont des l'unctions des ii constantes arbitraires [y^^, 'y^.^,-.., 'j/,,)^- H siillît de le montrer pour J/, ; le raisonnement est le même pour les autres fonctions. Or, d'après le calcul du numéro précédent, les dévi-

(hi, d'il , ,■ ■ .

vecs successives — j— , ■ ,\ .... sont des lonetions connues de

^',y,,yi---,y,i! et cecalcnl peut être prolongé, de proche en proche, jusqu'à une dérivée d'ordre quelconque de y,. Si, dans ces expressions des dérivées successives de //,, prolongées indéfiniment, on l'ait j; = 0, y, ^ (yX, y. = {yo}„,-., ^,. = (;/„)„. «« voit que toutes ces dérivées deviennent fonctions de (!/,)„, [yX>---' L'/«)n- Les coeflleients de la série, donnant y^, sont donc fonctions

eii COURS D'ANALYSE

des II constantes arbitraii-es (y,)„, (l/^^,-- ■>{;/, i),,; ceux des autres séries sont fonctions des mêmes constantes. Si donc ces séries sont convergentes, elles définissent un système de fonctions vérifiant les équations et contenant n constantes iirbiti-aires.

Ce raisonnement montre que, en général , les fonctions Ui' !/3'---' y» vérifiant les relations (5), sont déterminées quand on se donne les valeurs

qu'elles doivent prendre, pour une valenr déterminée a-^ 0 de la variable.

On démontrerait, de même, en prenant des séries de Taylor procédant suivant les puissances de x — .(■„, que les intégrales des équations (5) sont déterminées, quand on connaît les valeurs qu'elles prennent pour .r^x^.

403- Intégrales premières. — On appellf inii-grale pimnibrc d'un système d'équations

une équation entre la variable indépendante .r, les fonctions inconnues y ^t y^t •■■,>/„ et une constante arbitraire , qui se tronve satisfaite, en vertu des équations (5), quelles que soient les valeurs initiales {y\, (l/,)^, ■--, {y,,)^ (Ii'c l'on donne aux fonctions inconnues pour a; = a-„.

Une intégrale première est donc une relation de la forme

On peut toujours imaginer cette équation résolue par rapport Il la constante arbitraire C et l'écrire

(î>; ■ f{^.yi'y,>-,y.)^C-

yGoosle

ICQUAT/OXS SIMULT.ISÉES DV PREMIER ORDRE 655

Voici comment on peut vérifier immédiatement qn'une équation, telle que (9), est une intégrale première. Pour que hi fonction /'reste constante en vertu des équations (5), il faut et il suffit que sa dérivée par rapport a ,r, soit nulle :

1, en reii

api

l les

1 dé

rivé,

rf.r''

ans (5),

(10) lL+^-,,+^y.+ ... + IL,,^«.

Cette dernière condition ne contient alors que ,r, y^, ;}^,...,y^ : elle doit être vérifiée par tous les systèmes de fonctions satisfaisant aux équations (5) ; mais, comme dans l'intégration de CCS équations, on peut, pour une valeur arbitraire .r„ donnée à œ, prendre, pour y^, i/^,..., ;/„, des valeurs également arbitraires [y^^, iVîl'f---' {y«)ii-> "^stl^c condition (10) doit être satisfaite quelles que soient les valeurs données à -r,;/,,;/^^...,!/,,. elle doit donc être satisfaite ideiitiquemenl.

KxEMri.i;. — Les équalions

lia.