Emploi de la roulette Dupuit
— - CeL appareil est formé de deux roues graduées R et R' {/ig. 214), réunies à un manche M. La première a 100 millimètres de circonférence et son axe porte un pignon engrenant avec la seconde qui a dix fois plus de dents que le pignon. La circonférence de R est divisée en 100 divisions chacune d'un millimètre, celle de R', eu 10 divisions, dont chacune correspond à un tour complet de R. Un index I, fixe au manche, est placé en regard de R, un index analogue en regard de R'.
Pour mesurer la longueur d'une droite, on ramène d'abord chaque index sur le zéro de la graduation correspondante : on place ensuite l'appareil verticalement, de façon que le zéro de R coïncide avec l'une des extrémités de la droite et on pousse l'appareil de façon que la roulette roule sur la droite jusqu'à l'autre extrémité. Si, il la fin, l'index 1' est entre 3 et 4 et si I indique 25 divisions, la longueur
MÉTHODES B'APPnOXTMAriON GS'l
Celit posé, pour mesurer avec la roulette Dupuit l'aire d'un contour fermé qdelcoiique, par exemple, l'aire du segment P,ABP„+, considéré dans le numéro précédent, on prend un papier transparent, sur lequel on a tracé un réseau de parallèles c qui distante s, dont la distance commune est une quantité connue s (fig. 215J. On dispose ce papier sur le contour dont on cherche
l'iiire, de Taçon que deu\ des droites parallèles vicnnonl se placer tan gentielle ment au contour ca a et l : si !>c, de,... hk sont s coupent le contour, on
les points où les parallèles intermédiaire substitue ii ce contour le polygone insc l'aire est évidemmeiif
it abd... hlk... eca dont
;i^.](/eH-...+M).
miuit la roulette successivement le long det
■eil la somme de ces droites, etj en 1 a une valeur approchée
En pron, hcj de,..., hk, on lit sur l'appai multipliant par la quantité coi de l'aire.
Si le contour présente des points anguleux, comme dans la figure, il faut autant que possible placer le papier transparent de façon que chacun de ces points se trouve sur une des parallèles.
421. Méthode de Simpson. — La méthode de Simpson repose sur ce fait qu'on peut laire passer une parabole dont l'axe est
I>X', COVHS D'ASÀLYSE
|)ai'allcie il 0// par trois points donnés. En ellet, Tt^ptatioii d'une k'Ilc piU'iibole étant
on peut disposer des coellicients a, [i, y, de laoon que la parabole passe par trois points.
Ceci posé, pour évaluer l'aire d'un segment P,AB1'„^, (/î^'-- 213), on divise la base P,P„.|.i en un nombre pair (n^2p) de parties égales et on mène les ordonnées correspondant aux points de division P,,Pj,..., P,,^, : soient, comme précédemment, !/i'yî'lfs'---' !/"■*!> *^^s ordonnées, s la distance de deux ordonnées consécutives.
Dans la méthode de Simpson, on substitue à l'arc de courbe AM,M^ un arc de parabole d'axe vertical, passant par les trois mêmes points. L'aire dn segment parabolique P,AMjMjPj ainsi défini est (\" 2S)
eiii' la distance /( des ordonnées extrêmes est ici 2s. De mf;me, par les trois points M^,M,,Mj, on fait passer une parabole d'axe vertical et on remplace l'aire P^MgM.P^ par l'aire du segmcnl parabolique
-ÏJ-(.'/3+,'A+''.'/i\
i de suite, lj"aire de la
cbée la somme de
legmenls [r.u:0<
Si la courbe et les ordonnées sont tracées avec soin, on peut somme enti'c parenthèses à l'aide de la roulette
Dnpi
i22. Formule de Poncelet. ■ — ■ Les l'ormules précédentes ont le désavantage de no pas donner de limite pour l'erreur commise : cet inconvénient disparait avec la méthode de Poneelot. Dans
.MÉTHODES D'APPROXIMATION (Wi
celle méthode, on conimeiice par diviser l'arc de courbe coiisidéi'é en arcs tels c[ue, le long de chacun d'enx, la concavité soit dirigée dans le même sens ; on évalue ensuite séparément l'aire de chacun des segments limités par ces arcs.
Soit alors M, M,, uu de ces arcs : admettons qu'il tourne sa concavité vers l'axe 0^. Divisons la base P,P, du segment en un nombre pair de parties égales à e, en six parties, pour fixer les idées (/j^'. 216). Soient M,P,,M,1\,..., >I,P,, les ordonnées Inlcr-
BJ
iu.
ti.
médiaires. Menons par les points M, d'indices pairs, des tangentes à la courbe, en limitant ces tangentes, aux points od elles rencontrent les prolongements desordonnées voisines, d'îiïdicesimpaîrs: ainsi la Uuigente, en M^, est limitée aux points R, et R^, où elle rencontre les ordonnées P,M, et P3M3. D'autre part, menons les cordes MjM,, M^M^, M^M^, M^M,. L'aire cherchée S est comprise entre l'aire circonscrite C formée par les trapèzes, tels que PiRjRjPj et l'aire inscrite I limitée aux cordes : ces aires soiil des sommes de triipèxes
t demi-difl'crejicc -
en effet, supposons p;ir exemple S>— ^J — - ;reireiir commise est
,. <■ L (jlizhJh. -'/i + y- \ ,
On peut interpréter géométriquement cette valenr : soient II et K [fi0. 216), les points de rencontre de l'ordonnée du milieu M,P, iLvec les droites M,i\I, et M,M-, on u :
