Propriétés des intégrales déûnies
Théorème I. La valeur d'une ialègrale définie ne dépend pas de la variable d'intégration, mais seulement des limites. — l'^n eJFet, dans le second membre de la formule
= ^[lil—-^{a],
Théorème II. Une intégrale définie change de signe qnand •n inlervertil les limites. — En efFet, on a, en intervertissant a et fj,
r f{^)i,=-fif.)-,[i),
oxpression qui est de signe contraire ii la précédente.
On peut aussi se rendre compte de ce iait d'une autre manière en se reportant à la définition même de l'intégrale ; en effet, en supposant, pour fixer les idées, a<h, dans la somme
/Vh
les ordonnées /"(j;') sont multipliées par des accroissements infiniment petits rfa^qui sont positifs, car j: croit de a il b, et, dans la
5'.), COURS D'AIVALYSE
les mêmes ordonnées f{x) sont multipliées par des accroissements infiniment petits dx qui sont négatifs, car x décroit alors de & il n. Les deux sommes sont donc formées d'éléments égaux et de signes contraires ; elles sont égales en valeur absolue mais de signes contraires.
Théorème III. Fraclionnement de l'inlervalle d'iiitègratio?!. — Soit c un nombre tel que la fonction /'(,«) soit continue dans les deux intervalles [a, c) et [li, t) ; on a
£ /•(,<■) ,i.- =j' /•(,,) rf,x +£ /•(,,■) rf.r.
En effet, la première intégrale est a (i) — » («) et les deux autres o[c) — ç(rt-) et s [&) — o [c) ; si on substitue ces valeurs, le théorème devient évident.
Graphiquement, en supposant c compris entre a et h, ce fractionnement de l'intervalle revient a. diviser l'aire du segment P^MoM, P,!^'. 13) eu deux autres, à l'aide d'une ordonnée intermédiaire MP d'abscisse c, et à écrire que Taire totale est la somme des deux aires partielles.
Remauque. — En faisant passer les deux intégrales du second membre de la formule ci-dessi,is dans le premier, et en intervertissant ensuite leurs limites, on peut écrire la formule
£ f[,)ch+£ f{^v),U^-£ f[^)J,r = 0.
Théorème IV, La dérivée de l'intégrale \ f[x] d.r, par rapport à la limite supérieure b, est f[b] ; la dérivée, par rapport à la limite inférieure a, est — f{a).
En effet, appelons ï>(.r) une des fonctions primitives de fi-f), c'est-à-dire une fonction telle que
On c.
FO.\'crro.\s l'inMirivEs. intégrales di:i''i.mes Hi
La dérivée de I, par rapport h i,— j^, est -p'{/y), c'est -à-dire /'(/<); et
sa dérivée -T— , par rapport à a, est — a' («1, c'est-à-dire — f{(!' .
Théorème V. St/pposon.s r/ue h soit supérieur ù n et que, pour toutes les valeurs de ,r tomprises entre n et h, on ail
f[x) poupanl être égale à g {x)poitr eertaines valeurs parlietiUèrei isolées de x, on a également
J' flx)dx>£ S[=,)ds.
Eu effet la promière intégrale est
lim [(.,, -a) f{a]+ (,,, xj /-(x,) + ... (*—«■„,) ^ («.- ,)I
et la deuxième
Comme h>a, les lacteurs [x — a], (.Cj — ^i)'--i ('' — ^n i)sont positil's, et les termes de la première somme sont tous plus
Vs*^^^
Mi
grands que ceux de la deuxième. La première somme est donc plus grande que la deuxième.
Graphiquement [fig. 14) la première intégrale est l'aire du
COURS D'AN A LYSE
segment P^M^M, P, de la courbe l/^fi-r), la (icuxicme Faire du segment de même base Ï*„M'„M',P, de la courbe y^g (i); la première courbe étant au-dessus de la deuxième, la première aire est évidemment supérieure à la deuxième.
Appmcatiox. — Ce tliéorème permet de comprendre outre des limites une întéfvrale f[u'ou ne sait pas trouver exaetomeul : soit par exemple {')
où « est u que 1, on
nstante plus grande (|ue 2, Cemmc .r est moindre
L'intégrale ] esl clone eompeiso ciih'e
'est-à-dire entre
arc si,
i-^el
Il encore entre
~ = 0,52 eL
