Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle

Considérons une intégrale définie

) Voyez Sériel. Ce!cu/ hUeg

ro.vcrioNS pruiitives. intégrales définies 53

et supposons b>a. Soit M bi pins grande valeur que prenne f[x) quand X varie de a à b, et m la plus petite valeur de f(:r) dans le même intervalle. On a

M>/-(.r) donc, d'après le tJiéorème précédent,

f" Mrf,r >f'f{r) dr.

Or, M étant une constante, l'une des déterminations de l'intégi'ale indéfinie de Mdx est Mx et l'intégrale définie, entre les limites a et (/, est M (i — a). Donc

f f{x)dx<M(l> — a).

On trouve do même

r ' f{x)(Jx >m [h — a).

D'après cela, en appelant <^ un nombre convenablement choisi entre M et m, on peut écrire

Si la l'onction est continue dans l'intervalle d'intégration, elle, passe au moins une fois par toute valeur comprise entre son maximum M et son minimum m ; elle passe donc par la valeur jj. pour une valeur de x, x^\, comprise entre a et h, et on peut écrire

D'où la formule

Ces formules sont évidentes graphiquement. L'intégrale ( f{x)dx représente l'aire du segment PjM^MjP, {fig. 15) de la

i4 COUBS D'APfALrSE

oourbe y^f{x). Cette aire est évidemmeiil comprise entre le rectangleP„R||R,Pjde base [h — a) ayant pour hauteur l'ortlonnée maximum M, et le rectangle P^SoS,Pi de même base ayant pour hauteur l'ordonnée minimum, c'est-à-dire entre M (i — a) et

m [b — a). L'aire est donc équivalente à un certain rectangle r*o V-n f-i ^1 *^^ h^se Pp P, ayant une hauteur ft comprise entre M et m ; la base supérieure •^.^ \i.^ de ce rectangle coupe la courbe en un point H d'abscisse £ comprise enlre a et h et on peut

On appelle valeur moyenne de la fonction f[x) de la variable j dans l'intervalle a, h, la quantité [* que nous venons de dèfinii

^l"tV)'^'-'

quantité qui est telle que le rectangle de base P„ P, el de haiileiir |jl soit équivalent au segment P, M,, M, P,.

Voici comment on peut justifier cette définition. Partageonsla

droite P„ P, en n parties \a: égales à par des points de

division d'abscisses x„ x^... .■c„i et considérons les n ordonnées équidislantes :

/■("•). fi'i, /w,- /■(■'■..-,)

FO-tCTIOiYS PRIMITIVES. I.\TÉGBAl.ES DÈFiyiES .VT

La valeur moyenne tle ces ordonnées est, d'après la définition ordinaire de la moyenne de /( quantités,

/•M+fl-^,)+/'MH--+/'!-'„-,'

ou, Cil multipliitnthautctbLis pur A,r et reitipliiÇtirU nl.r fv.iv !, — «,

-rl/(») ix + /-{,r,)A.r+ ... +/■(,,■„,) i.l.

Quand n augmente indéfiniment, le numérateur tend vers / f{^] dx et la moyenne entre les n ordonnées é qui distante s tend vers

il est donc naturel d'appeler cette expresBion la valeur moyenne defix) dans l'intervalle [a, h).

Exemples. — i" La valeur moyenne de sin x de 0 à - est