INFINIMENT PETITS. — DIFFÉRENTIELLES

DEUX THÉOBÉHCS FONDAMENTAUX APPLICATION A LAIBE D'UN SEGMENT DE COURBE PLANE

1. Inûniment petits. — Le ciilcul différentiel et le calcul intégi'îil reposent snr Va notion des quantités infiniment petites et sur l'emploi de deux théorèmes fondamentiiux.

On appelle quantité infiniment petite une quantité varialde qui tend vers zéro. Ainsi, pour exprimer ce fait que siii a: tend vers zéro, quand ^r tend vers zéni, on dit que sin x est infiniment petit en même temps que x.

Considérons différentes quantités :

nfinimeiit petites en niftiiie temps : cela veut dire que,

qui

nd l'une d'elles tend vers zéro, il en est de même des autres.

11 est important de comparer ces quantités entre elles : compàrons-les, par exemple, à a que nous nommerons pour cette raison infiniment petit princîjiol.

Inflûiment petits du premier ordre. — On dit que [3 est infiniment petit du pre/nier ordre par rapjwrl à i., si le rapport —

■i coi-RS ly.iy.iLrsE

tfiid vers une linÙLc linio <t difréreulo de zéro, qu;iiul % leiul

(In peut nlors poser

: étant Infiniment petit en même temps que a ; on en conekit

On u ainsi l'expression générale des infiniment petits du premier ordre : ce qui varie d'un infiniment petit du premier ordre il un autre, c'est la valeur de la constante k et de l'infiniment petit t. La ijuantité a,k est appelée partie principale de ^. On peut remarquer que le rapport de fi ii sa partie principale tend vers 1, quand a tend vers zéro. On a, en ell'et

et le second nienilire tend évidemment vers 1 quand t. tend vers li]xr.>[ri.Es. — Soit a un inliniment pelit. J.a quantité

est intininient petite ave.

port à t, car le rapport

end vers 2 quand a tend vers zéro, puisque le rapport du sinus

I Tare tond vers 1, La partie principale de ]ï est 2 a : le rappori

le ^S à sa paiiie principale ^4- tend vers 1.

l.\Fl.\IME.\T l'ETITS. Dl ri'Ë RKSTI K LLKS

est un infiniment petit du premier ordre, Citr — tend vers 3 ; lu partie principale de ^ est 3a.

Infiniment petits du second ordre. — ■ Soit eneore p une quantité infiniment petite en même temps que a ; mais supposons

que \ tende vers zéro avec k. Alors ^ est dit infiniment petit d'ordre supérieur au premier. On dit que j3 est infiniment petit du second ordre par rapport a 7,, si le r.ipport -^ tend vers inie limite différente de zéro :

lim^ :=/,■, /.-^i).

C'est là l'expression générale des infiniment petits du second

ordre. La quantité ko} est la partie principale de ^ et le rap-

port y— 5 tend vers l quand a tend vers zéro.

E.viiMPLE. — Soit ^est ijifiniraeiit petit avec a. On peut écrire

COUnS D'ANALYSE

Quand a. tend vers zéro, le lupprti't entre parenthèses tend vers i ; donc

fl est infiniment petit du second ordre par rapport ù a el sa partie principale est-;^-.

Infiniment petits d'ordre n. — Ou peut géiiéraliseï' ces notions comme il suit :

On dit que fi est un infiniment petit d'ordre «, par rappori h rj., n étant positif, si le rapport

tend vers une limite /■ dillerente de zéro. Ou peut alors écrire

z étant infiniment petit avec a; d'oii

^■7." est la partie principale de ^; le rapport de Ji ii sa partie principale

tend vers 1 quand a tend vers zéro.

Dans cet énoncé général, n est assujetti i» être positif ; il peut être entier ou fractionnaire.

EXEMPLES, — Soit

Cette quantité est inriniment petite avec a. Kn remplaçant e" par le développement en série connue

INFIJVIMEfIT PETITS. DlFFKRF.i\'TIELLES

^ — T2ir+ 1.2.3.4+-' donc

3 est infnûmenl petit du tioisiome ordre et s;» partie principale

csr-^.

Soil

; encore

[3 est

liilinimeiil.

petit

avec y. ;

donc

lim jÎ-

^ est infiniment petit d'ordre :r piir rapport à t:, et sa partie principale est

As/^ .... v'-.

Remarque. — Cette classification n'embrasse pas tous les infiniment petits. Il peut se faire qu'une cjuantité p soit infiniment petite avec a, mais ne soil d'aucun ordri', ni entier ni fractionnaire. Par exemple

est infiniment petit avec œ, mais ic rapport

yGoosle

(> COURS D''AXAl,YSE

Iciid vers zéro avec a quelque grand que soit l'exposant n. On ne peut donc assigner aucun ordre d'infmimonl petit à |3 par rapport à a.