Ordre du produit de deux infiniment petits. — Si ^ est

infiniment petit d'ordre m par rapport à a et y d'ordre n, le produit 3v est d'ordre «w. En effet, on a alors

où k et k' sont des constantes jion nulles et î. s' des infiniment petits. On en conclut

'p-.- = yP' - '\H-' -\- r,)

■/■(désignant la quantité infiniment petite s A' + s'/- -+-=;'. Donc p-' est d'ordre m-\-n, et sa partie principale est

3. Principes de la méthode infinitésimale. Deux points de vue. — On peut employer, ii deux points de vue différents, les quantités infiniment petites, dans la recliorclie des quantités linies.

Le premier point de vue, que les anciens n'ont pas connu cl dont la découverte est due à Newton et à Leibniz, consiste ii regarder la quantité que l'on cherche comme la limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Par exemple, si l'on considère une courbe ayant pour équation en coordonnées cartésiennes

et si l'on cherche le coefficient angulaire de la tangente en un point M de coordonnées :r et »/, on considère un point voisin M

de coordonnées ,r -|- A.c, 1/ -\- i// et on cherche la limite du rapport

quand A^ tend vers zéro. On est ait

INFINIMENT PETITS. DIFFERENTIELLES 7

vêe ; de sorte que ce premier point de ^-ue conduit au calcul des dérivées ou au calcul différentiel.

Le deuxième point de vue, sous lequel on peut employer les infiniment petits, consiste à regarder une quantité finie comme la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites. Ce point de vue était connu des anciens. Par exemple, en géométrie élémentaire, on considère la longueur d'une circonférence comme la limite vers laquelle tend le péri-, mètre d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro ; on définit d'une façon analogue les aires planes ou courbes, certains volumes, etc... Ce second point de vue conduit au calcul intégral ; nous verrons, en effet, qu'une intégrale est précisément la limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites.

4. Deux théorèmes fondamentaux. — l.a méthode infinitésimale, envisagée successivement sous ces deux points de vue, repose sur deux théorèmes correspondants.

Premier théorème. — La limite du rapport de deux inflnimeni petits n'est pas changée, quand on remplace chacun d'eux par un infiniment petit dont le rapport acec lui a pour limite l'unité. Soit le rapport de deux infiniment petits

Prenons deux autres infiniment petits !3' et -(' tels que

Il faut montrer qui

Un, 4=.!,., A.

Ce fait est évident, car on peut écrire

COURS D'ANALYSE

:' letulant vers zéro en même temps que fi et y. On a donc

1 1 et on

a bien

En particulier, pour trouver la limite du rapport de deu infiniment petits ^ et y, on peut remplacer chacun d'eux par s partie principale, puisque le rapport d'un infiniment petit à s partie principale tend vers l.

KxEMPLE. — Pour évaluer la limite du rapport

quand <j. tend \(

sinSa et sin2apar :3 a et 2

tendent vers 1. I.a liniin; (Miercuee i:sl uuih; ituc ne -^r —

Deuxième théorème. — La limite de la somme d'un nombre infiniment grand d'infiniment petits, tous de même signe, n est pas changée quand on remplace chacun d'eux par un autre dont le rapport avec lui a pour limite l'unité.

Soient Oi, œ,,..,, a„ les quautllés infiniment petites proposées, toutes de môme signe; supposons qu'on ait

quand toutes ces quantités tendent vers zéro, n croissant indéfiniment. Soient maintenant p,, ^j,--., |3„, d'autres quantités infiniment petites, en même nombre, telles que

sin2i

0, on peut ven,pl„cer et 2 a, car les rapports

respectiveineiit

lu :! « sin 2 «

3 cherchée est donc celle

c,e|±„nl.

INFINIMENT PETITS. DIFFÉB ENTIELLES

It faut démontrer que l'on a également

l!m{iS, + ^,+ -hX) = \.

Considérons les rapports

dont les dénominateurs sont tous de même signe par hypothè; D'après un théorème élémentaire d'algèbre, le rapport

obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports (1), de sorte que l'on a

-l-^étant le plus petit et -^-^ le plus grand des rapports (i).

Quand n augmente indéfiniment tous les rapports (1} et en par tendent vers 1. par hy|

ticulier-^ et -^^ tendent vers 1. par hypothèse, l.e rapport

étant compris entre deux quanlités qui tendent vers 1, tend luimême vers 1, et comme le dénominateur tend vers A, il en est de même du numérateur.

Le théorème est donc démontré. On peut, en particulier, pour évaluer la limite de (a, + aj+' + «„), remplacer chaque infiniment petit composant la somme par sa partie principale.

Remakque. — Il est essentiel de supposer les quantités a,, a.^,..,%„ toutes de même signe; s'il n'en était pas ainsi, on ne pourrait plus faire la démonstration, car le théorème d'algèbre sur lequel nous nous sommes appuyés ne serait plus applicable. Il est facile de montrer, par un exemple, que la proposition n'est plus vraie.

Il COURS D'ArW

Soit n un liomijie pair, n^^'lp ; [

où tous les a d'indices impairs sont égaux au premier a, eL lous ceux d'indices pairs au dei

est — ou 1. Soit d'autre part :

'"'" ^ir' ''"^ i/'7'

Quand n augmente indéfiniment, toutes ces quantités de' infiniment petites et les rapports

tendent vers 1. Mais comme les a n'ont pas tous le m^me signe, on ne peut pas afiirnier que la somme

tende vers la même limite que la somme des a. l'HFcctivemenl la somme des ^ est /utile et celle des a é^^ale ù 1-

5. Application du oEiixmME thkouème . Aire d'un serment de courbe plane. — Considérons une courbe plane ayant pour équation, par rapport à des axes rectangulaires

prenons un arc continu M^, M [fig. 1) de cette courbe et abaissons les perpendiculaires M^^P^ et MP sur l'axe Oj". Proposonsnous d'évaluer l'aire Pj,M(,MP. Nous supposerons d'abord que l'arc M^ M soit au-dessus de O^ et que l'abscisse j: dé M soit supérieure à l'abscisse a de M„.