SOUDE A BASES PARALLELES

...,D„ ont des équations de la forir

Le plai coordoiiii

= C" , coupe iii droite D, en un point. Aj, dont les ont

et la droite Dj en un point A^, dont l

trdoniicos sont

ce plan coupe 0: en A.

La surface du triangle A A, A, se projette en vraie grandeur sur le plan des xy suivant un triangle ayant un sommet à l'origine . L'aire de ce triangle est

AA.A, = i-[..-,;/, — î/,,rj,

Cette aire est doue une fonction du deuxième degré de :■■ Il en est de même des aires A A^ Aj, A Aj A^. . . et par conséquent de

l'aire S du polygone A, A^ A„ qui est la somme algébrique de

toutes les aires triangulaires.

Le théorème est donc démontré.

On peut faire rentrer dans cette catégorie de solides, le tas de pierres. Ce solide est limité d'une part par deux bases rectangles A, Aj A, A( et B, Bj B, B^ ayant leurs côtés parallèles et leurs centres C et D sur une perpendiculaire aux bases ; d'autre part, par quatre trapèzes tels que A, B|Bj A^. ,. etc. Le volume du tas de pierres est donc donné par la formule (1).

Remarque. — Supposons que les droites Vi^, Dj,,..,l)„ soient

parallèles à un mftmt! plan. Nous pouvons toujours prendie lephiii des y r parallèle à ce plan. Alors tous les coefiicients a,, ffî,...,o„ sont nuls et l'aire de chaque triangle tel que AA, A^ est une fonction linéaire de z. L'aire S devient donc, dans ce cas, une (onction linéaire de z-. Il en résulte que la section médiane S„, est alors la demî-somme des deux bases

et le ïohii

1110 du soli.

lie eleiiei.t

48- Tranche de surface réglée. — l.e volume que nous venons de définir dans le numéro précédent est donné par la même formule, quels que soient le nombre et la distribution des droites Dj, Dj,...,D„ . En supposant que le nombre n de ces droites augmente indéfiniment, on voit qu'elles forment une surface réglée quelconque et que le volume considéré devient une tranche de surface réglée comprise entre deux plans parallèles. Ce volume est donc encore donné parla mfme formule.

Surface réglée à plan directeur. — Si la surface réglée a un plan directeur, l'aire de la section S est une fonction linéaire

de ;, S„, est égal à -:t-(S + S,) et le volume de la tranche de-

Exemple. Conoïde. — On nomme conoïde la surl'ace engendrée par une droite mobile MN s'appuyant sur une droite fixe AB, restant parallèle à un plan fixe Q et assujettie ii rencontrer une courbe quelconque de l'espace. La droite AB est l'arête du conoïde, Q le plan directeur [fig. 34).

Cherchons le volume d'une tranche du conoïde comprise entre l'arête et une section plane S, parallèle à l'arête. L'une des

VOLUME D'UN SOIABE ^